Stabilität (Wahrscheinlichkeit) - Wikipedia

In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die -Stabilität einer Zufallsvariablen die Eigenschaft, dass eine lineare Kombination von zwei unabhängigen Kopien der Variablen die gleiche Verteilung aufweist, und zwar in Bezug auf Standort- und Skalenparameter. ^[1] Die Verteilungen Von Zufallsvariablen mit dieser Eigenschaft wird gesagt, dass sie "stabile Verteilungen" sind. Die in der Wahrscheinlichkeitstheorie verfügbaren Ergebnisse zeigen, dass alle möglichen Verteilungen mit dieser Eigenschaft Mitglieder einer Vierparameterfamilie von Verteilungen sind. Der Artikel über die Stable-Distribution beschreibt diese Familie zusammen mit einigen Eigenschaften dieser Distributionen.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie von "Stabilität" und der stabilen Familie von Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist es wichtig, dass sie "Attraktoren" für ordnungsgemäß genormte Summen unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen sind.

Wichtige Sonderfälle stabiler Verteilungen sind die Normalverteilung, die Cauchy-Verteilung und die Lévy-Verteilung. Für Details siehe stabile Verteilung.

Definition [ edit ]

Es gibt mehrere grundlegende Definitionen für das, was mit Stabilität gemeint ist. Einige basieren auf Summierungen von Zufallsvariablen und andere auf Eigenschaften charakteristischer Funktionen.

Definition über Verteilungsfunktionen [ edit ]

Feller ^[2] macht die folgende grundlegende Definition. Eine Zufallsvariable X wird als stabil bezeichnet (hat eine stabile Verteilung), wenn für n unabhängige Exemplare X _i von X

gibt es Konstanten c _n > 0 und d _n so dass

${193] X_ {1} + X_ {2} + ldots + X_ { n} { stackrel {d} {=}} c_ {n} X + d_ {n},}$

wobei sich diese Gleichheit auf die Gleichheit der Verteilungen bezieht. Eine Schlussfolgerung aus diesem Ansatz ist, dass die Konstantenfolge c _n die Form haben muss

${\displaystyle c_n=n^{1/\mathrm{\alpha \; <!--\; \alpha \; -->}}}$ für &lt;math > 0 &lt; α ≤ 2. 2. { Displaystyle 0 &lt; alpha leq 2.} &lt; img src = &quot;https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e723d4f06503be1571f0387b717606c26f0febf&quot; class = &quot;mwe-math-fallback-image-inline&quot; aria-hidden = &quot;true&quot; = &quot;true&quot; -Ausrichtung: -0,505ex; Breite: 10.656ex; height: 2.343ex; &quot;alt =&quot; { displaystyle 0

Eine weitere Schlussfolgerung ist, dass die obige Verteilungsidentität für n = 2 und n = gilt 3 nur. ^[3]

Stabilität in der Wahrscheinlichkeitstheorie [ edit ]

Für Verteilungen gibt es eine Reihe mathematischer Ergebnisse, die die Stabilitätseigenschaft besitzen. Das heißt, es werden alle möglichen Familien von Verteilungen betrachtet, die die Eigenschaft haben, unter Faltung geschlossen zu werden. ^[4] Hier ist es angebracht, diese stabilen Verteilungen zu nennen, ohne speziell die im Artikel mit der Bezeichnung stabile Verteilung bezeichnete Verteilung zu bedeuten dass eine Verteilung stabil ist, wenn angenommen wird, dass sie die Stabilitätseigenschaft hat. Die folgenden Ergebnisse können für univariate Verteilungen erhalten werden, die stabil sind.

Andere Stabilitätsarten [ edit ]

Das obige Konzept der Stabilität basiert auf der Idee, dass eine Verteilungsklasse unter einer bestimmten Menge von Operationen mit Zufallsvariablen geschlossen wird, wobei Die Operation ist &quot;Summation&quot; oder &quot;Mittelwertbildung&quot;. Andere Operationen, die berücksichtigt wurden, umfassen:

Siehe auch [ edit ]

1. ^ Lukacs, E. (1970) Abschnitt 5.7
2. ^ Feller (1971), Abschnitt VI.1 [19659070] ^ Feller (1971), Problem VI.13.3
3. ^ Lukacs, E. (1970) Abschnitt 5.7
4. ^ Lukacs, E. (1970) Theorem 5.7.1 [19659076] ^ Lukacs, E. (1970) Satz 5.8.1
5. ^ Lukacs, E. (1970) Satz 5.10.1
6. ^ Klebanov et al. (1984)

Referenzen [ edit ]

• Lukacs, E. (1970) Charakteristische Funktionen. Griffin, London.
• Feller, W. (1971) Eine Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und ihre Anwendungen Band 2. Wiley. ISBN 0-471-25709-5
• Klebanov, L. B., Maniya, G. M., Melamed, I.A. (1984) &quot;Ein Problem von V. M. Zolotarev und Analoga von unendlich teilbaren und stabilen Verteilungen in einem Schema zur Summierung einer Zufallszahl von Zufallsvariablen&quot;. Theorie Probab. Appl. 29, 791–794