Charakteristische Untergruppe - Wikipedia

In der Mathematik, insbesondere im Bereich der als Gruppentheorie bekannten abstrakten Algebra, ist eine charakteristische Untergruppe eine Untergruppe, die durch jeden Automorphismus der Elterngruppe auf sich selbst abgebildet wird. ^[1][2] Weil jede Konjugationskarte ist ein innerer Automorphismus, jede charakteristische Untergruppe ist normal; das Gegenteil ist jedoch nicht garantiert. Beispiele für charakteristische Untergruppen sind die Kommutator-Untergruppe und der Mittelpunkt einer Gruppe.

Definition [ edit ]

Eine Untergruppe H einer Gruppe G wird als charakteristische Untergruppe bezeichnet. 19659006] H char G wenn für jeden Automorphismus von G H H H H H gilt, dh wenn jeder Automorphismus der übergeordneten Gruppe die Untergruppe in sich selbst abbildet.

Jeder Automorphismus von G induziert einen Automorphismus der Quotientengruppe, G / H der eine Karte ergibt Aut ( G ] → Aut ( G / H ) .

Wenn G eine eindeutige Untergruppe H eines gegebenen (endlichen) Index aufweist, dann ist H in G charakteristisch.

Zugehörige Konzepte [ edit ]

Normale Untergruppe [ edit

Eine Untergruppe von H die unveränderlich ist unter allen inneren Automorphismen heißt normal; auch eine unveränderliche Untergruppe.

φ [ H ] ≤ H Inn ( G )

Seit Inn [ G ]) ⊆ Aut ( G ) und eine charakteristische Untergruppe ist unter allen Automorphismen invariant, jede charakteristische Untergruppe ist normal. Charakteristisch ist jedoch nicht jede normale Untergruppe. Hier einige Beispiele:

• H H sei eine nichttriviale Gruppe, und G sei das direkte Produkt, H × H . Dann sind die Untergruppen, {1} × H und H × {1} beide normal, aber keine ist charakteristisch. Insbesondere ist keine dieser Untergruppen unter dem Automorphismus invariant, (19459016) x y ) → ( y x ) der die beiden Faktoren umschaltet.
• Für ein konkretes Beispiel hierfür sei V die Klein-Vier-Gruppe (die zum direkten Produkt isomorph ist, [1945
  ] 2 × ℤ ₂ ). Da diese Gruppe abelsch ist, ist jede Untergruppe normal. Jede Permutation der 3 Nicht-Identitätselemente ist jedoch ein Automorphismus von V daher sind die 3 Untergruppen der Ordnung 2 nicht charakteristisch. Hier V = { e a b ab } . Betrachten Sie H = { e a } und betrachten Sie den Automorphismus, T ( e ) = e = T ( a ) = b T ( b ) = a T [ ab ) = ab ; dann ist T ( H ) nicht in H enthalten.
• In der Quaternionsgruppe der Ordnung 8 ist jede der zyklischen Untergruppen der Ordnung 4 normal , aber keines davon ist charakteristisch. Die Untergruppe {1, -1} ist jedoch charakteristisch, da sie die einzige Untergruppe der Ordnung 2 ist.
• Wenn n gerade ist, ist die Diedergruppe der Ordnung 2 n hat 3 Untergruppen von Index 2, die alle normal sind. Eine davon ist die zyklische Untergruppe, die charakteristisch ist. Die beiden anderen Untergruppen sind Dieder. diese sind durch einen äußeren Automorphismus der Elterngruppe permutiert und daher nicht charakteristisch.

Streng charakteristische Untergruppe [ edit

A streng charakteristische Untergruppe [19659067] oder eine Unterscheidungsgruppe die unter surjektiven Endomorphismen invariant ist. Für endliche Gruppen impliziert die Surjektivität eines Endomorphismus die Injektivität. Ein surjektiver Endomorphismus ist also ein Automorphismus. streng charakteristisch zu sein entspricht charakteristisch . Dies ist bei unendlichen Gruppen nicht mehr der Fall.

Völlig charakteristische Untergruppe [ edit ]

Für eine noch stärkere Einschränkung eine voll charakteristische Untergruppe (auch voll invariante Untergruppe . ; vgl. Invariante Untergruppe), H einer Gruppe, G ist eine Gruppe, die unter jedem Endomorphismus von G invariant bleibt; das ist,

φ [ H ] ≤ H ∀φ ∈ End ( G ) .

.

Jede Gruppe hat sich (die unpassende Untergruppe ) und die triviale Untergruppe als zwei ihrer vollständig charakteristischen Untergruppen. Die Kommutatoruntergruppe einer Gruppe ist immer eine völlig charakteristische Untergruppe. ^{[3] [4]}

Jeder Endomorphismus von G induziert einen Endomorphismus von ] G / H woraus sich eine Karte ergibt End ( G ) → Ende ( G / H ) ) .

Verbale Untergruppe [ edit ]

Eine noch stärkere Einschränkung ist die verbale Untergruppe, die das Bild einer vollständig invarianten Untergruppe einer freien Gruppe unter einem Homomorphismus ist. Im Allgemeinen ist jede verbale Untergruppe immer vollständig charakteristisch. Für jede reduzierte freie Gruppe und insbesondere für jede freie Gruppe gilt auch das Gegenteil: Jede vollständig charakteristische Untergruppe ist verbal.

Transitivität [ edit ]

Die Eigenschaft, charakteristisch oder vollständig charakteristisch zu sein, ist transitiv; Wenn H eine (vollständig) charakteristische Untergruppe von K ist und K eine (vollständig) charakteristische Untergruppe von G ist, dann 19659006] H ist eine (vollständig) charakteristische Untergruppe von G .

H Char K Char G ⇒ H Char G ist nicht transitiv, es stimmt, dass jede charakteristische Untergruppe einer normalen Untergruppe normal ist.

H char K [1945 G ⇒ H G

In ähnlicher Weise charakteristisch (unterschieden) ist nicht transitiv, es ist wahr, dass jede vollständig charakteristische Untergruppe einer streng charakteristischen Untergruppe streng charakteristisch ist.

Im Gegensatz zur Normalität ist jedoch H char G und K eine Untergruppe von G H H ]dann ist H in K nicht unbedingt charakteristisch.

H char G H < K G G ⇏ [1945 char K

Containments [ edit ]

Jede Untergruppe, die vollständig charakteristisch ist, ist sicherlich streng charakteristisch und charakteristisch. Eine charakteristische oder sogar streng charakteristische Untergruppe muss jedoch nicht vollständig charakteristisch sein.

Das Zentrum einer Gruppe ist immer eine streng charakteristische Untergruppe, sie ist jedoch nicht immer vollständig charakteristisch. Beispielsweise hat die endliche Gruppe der Ordnung 12, Sym (3) × ℤ / 2ℤ einen Homomorphismus ( π y ). bis ((1, 2) ^y 0) die das Zentrum einnimmt, 1 × ℤ / 2ℤ in eine Untergruppe von Sym (3) × 1 das nur in der Identität auf das Zentrum trifft.

Die Beziehung zwischen diesen Untergruppeneigenschaften kann folgendermaßen ausgedrückt werden:

Untergruppe ⇐ normale Untergruppe ⇐ charakteristische Untergruppe ⇐ streng charakteristische Untergruppe ⇐ vollständig charakteristische Untergruppe ⇐ verbale Untergruppe

Beispiele [ edit

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Betrachten Sie die Gruppe G = S ₃ × ℤ ₂ (die Gruppe der Ordnung 12, die die ist direktes Produkt der symmetrischen Gruppe der Ordnung 6 und einer zyklischen Gruppe der Ordnung 2). Das Zentrum von G ist der zweite Faktor [1945 ₂ . Man beachte, dass der erste Faktor S ₃ Untergruppen enthält, die isomorph zu ] ₂ sind, zum Beispiel {e, (12)} ; f : 1945 ₂ → S ₃ sei die Morphismusabbildung ₂ auf die angegebene Untergruppe. Dann die Zusammensetzung der Projektion von G auf seinen zweiten Faktor [1945 ₂ gefolgt von f gefolgt von S [19]. ₃ in G bietet als ersten Faktor einen Endomorphismus von G unter dem das Bild des Zentrums, ℤ ₂ ist nicht in der Mitte enthalten, daher ist die Mitte hier keine vollständig charakteristische Untergruppe von G .

Zyklische Gruppen [ edit ]

Jede Untergruppe einer zyklischen Gruppe ist charakteristisch.

Untergruppenfunktionen [ edit ]

Die abgeleitete Untergruppe (oder Kommutatoruntergruppe) einer Gruppe ist eine verbale Untergruppe. Die Torsionsuntergruppe einer abelschen Gruppe ist eine vollständig invariante Untergruppe.

Topologische Gruppen [ edit ]

Die Identitätskomponente einer topologischen Gruppe ist immer eine charakteristische Untergruppe.

Siehe auch [ edit ]

Referenzen [ edit