Das Hopf-Rinow-Theorem ist eine Reihe von Aussagen über die geodätische Vollständigkeit von Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Es ist nach Heinz Hopf und seinem Schüler Willi Rinow benannt, der es 1931 veröffentlichte. [1]
Satz des Satzes [ edit
Let ( M g ) ein verbundener Riemannscher Mannigfaltiger sein. Dann sind die folgenden Aussagen gleichwertig:
- Die geschlossenen und begrenzten Untermengen von M sind kompakt;
- M ist ein vollständiger metrischer Raum;
- M ist geodätisch vollständig; Das heißt, für jeden p in M ist die Exponentialkarte exp p auf dem gesamten Tangentenraum T P M [19456501] M definiert
Darüber hinaus impliziert jeder der oben genannten Punkte, dass in Anbetracht von zwei Punkten p und q in M eine Längenminimierungsgeodäsie besteht, die diese verbindet zwei Punkte (Geodäten sind im Allgemeinen kritische Punkte für die funktionale Länge und können Minima sein oder nicht).
Variationen und Verallgemeinerungen [ edit ]
- ^ Hopf, H .; W. Rinow (1931). "Über den Begriff der genau differentialgeometrischen Fläche". Commentarii Mathematici Helvetici . 3 (1): 209–225. Doi: 10.1007 / BF01601813.
- ^ Atkin, CJ (1975), "Der Satz von Hopf-Rinow ist in unendlichen Dimensionen falsch" (PDF) The Bulletin of the London Mathematical Society 7 (3): 261–266, doi: 10.1112 / blms / 7.3.261, MR 0400283 .
- ^ O'Neill, Barrett ( 1983), Semi-Riemannsche Geometrie mit Anwendungen für die Relativitätstheorie reine und angewandte Mathematik, 103 Academic Press, p. 193, ISBN 9780080570570 .
Literaturangaben [ edit
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