Nicolas Bourbaki - Wikipedia

Nicolas Bourbaki ( französische Aussprache: [nikɔla buʁbaki]) war das kollektive Pseudonym einer Gruppe von (hauptsächlich französischen) Mathematikern. Ihr Ziel war es, die Mathematik auf einer äußerst abstrakten und formalen, aber in sich geschlossenen Basis in einer Reihe von Büchern ab 1935 umzuformulieren. Mit dem Ziel, die gesamte Mathematik auf die Mengenlehre zu gründen, strebte die Gruppe nach Strenge und Allgemeinheit. Ihre Arbeit führte zur Entdeckung mehrerer Konzepte und Terminologien, die noch heute verwendet wurden, und beeinflusste die modernen Bereiche der Mathematik.

Es gibt keine Person namens Nicolas Bourbaki, die Bourbaki-Gruppe die offiziell als Association of Collaborateurs de Nicolas Bourbaki bekannt ist, hat eine Büro in der École Normale Supérieure in Paris.

Die Gruppe [ edit ]

Im Jahr 1934 hatten junge französische Mathematiker verschiedener französischer Universitäten das Bedürfnis, eine Gruppe zu bilden, um gemeinsam Lehrbücher zu erstellen, die sie alle für den Unterricht verwenden könnten. André Weil organisierte das erste Treffen am 10. Dezember 1934 im Keller eines Pariser Grillraums, während alle Teilnehmer an einer Konferenz in Paris teilnahmen.

Die Berichte der Anfangszeit variieren, aber Originaldokumente sind jetzt ans Licht gekommen. Die Gründungsmitglieder waren alle mit der École Normale Supérieure in Paris verbunden, darunter Henri Cartan, Claude Chevalley, Jean Coulomb, Jean Delsarte, Jean Dieudonné, Charles Ehresmann, René de Possel, Szolem Mandelbrojt und André Weil. Gegen Ende des Jahres 1934 gab es eine Vorbesprechung. ^[1] Jean Leray und Paul Dubreil waren an der Vorbesprechung anwesend, schieden jedoch aus, bevor sich die Gruppe tatsächlich gebildet hatte. Andere bemerkenswerte Teilnehmer in späteren Tagen waren Hyman Bass, Laurent Schwartz, Jean-Pierre Serre, Alexander Grothendieck, Jean-Louis Koszul, Samuel Eilenberg, Serge Lang und Roger Godement.

Das ursprüngliche Ziel der Gruppe bestand darin, einen verbesserten mathematischen Analysetext zu erstellen. Es wurde bald entschieden, dass eine umfassendere Behandlung der gesamten Mathematik erforderlich war. Es gab keinen offiziellen Status der Mitgliedschaft, und zu dieser Zeit war die Gruppe ziemlich geheimnisvoll und bereitwillig Desinformation zu liefern. Es fanden regelmäßige Treffen (insgesamt etwa vier Wochen pro Jahr) statt, bei denen die Gruppe jede vorgeschlagene Zeile jedes Buches intensiv besprach. Die Mitglieder mussten im Alter von 50 Jahren zurücktreten, was angeblich zu einem vollständigen Personalwechsel bis 1958 führte. ^[2] Die Historikerin Liliane Beaulieu wurde jedoch als zitiert angegeben, da sie diese Regel nie schriftlich bestätigt hatte. [19659003] Die Atmosphäre in der Gruppe kann durch eine Anekdote von Laurent Schwartz veranschaulicht werden. Dieudonné drohte regelmäßig und spektakulär mit dem Rücktritt, es sei denn, die Themen wurden in ihrer logischen Reihenfolge behandelt, und nach einer Weile spielten andere aus Spaß. Godements Frau wollte, dass Dieudonné seinen Rücktritt ankündigte, und so brachte Schwartz gelegentlich erneut die Frage auf, in welcher Reihenfolge die Maßtheorie und topologische Vektorräume behandelt werden sollten, um eine garantierte Krise herbeizuführen. ^{Zitat benötigt ]}

Der Name "Bourbaki" bezieht sich auf einen französischen General, Charles Denis Bourbaki; ^[4] wurde von der Gruppe als Hinweis auf eine Schüleranekdote angenommen ein Scherz mathematische Vorlesung und möglicherweise auch eine Statue. Es wird gesagt, dass Weils Ehefrau Evelyne Nicolas lieferte. ^[5] Dies wird mehr oder weniger von Robert Mainard bestätigt. ^[2]

Pranks [

The Bourbaki Gruppe veröffentlichte ein paar humorvolle Falschmeldung, die sich auf das gefälschte Leben von Nicolas Bourbaki bezog. Zum Beispiel veröffentlichte die Gruppe eine Hochzeitsmitteilung, in der die Ehe von Betti Bourbaki (Tochter von Nicolas) mit einem gewissen Hector Pétard (19459011) (Hector Firecrackers in English) in Beziehung gesetzt wurde. Im November 1968 wurde während eines Seminars ein Nachruf von Nicolas Bourbaki veröffentlicht, der einige mathematische Wortspiele enthielt. ^[6] Die Gruppe ist jedoch seit 2018 noch aktiv, organisiert Seminare ^[7] und hat 2016 ein Buch veröffentlicht.

Bücher von Bourbaki [ edit ]

Das Hauptwerk von Bourbaki sind die Elemente der Mathematik (Éléments de mathématique) . Diese Reihe zielt darauf ab, die Kernbereiche der modernen Mathematik vollständig in sich aufzunehmen. Ohne besondere mathematische Kenntnisse greift sie Mathematik von Anfang an auf, geht axiomatisch vor und gibt vollständige Beweise.

Die unten angegebenen Daten beziehen sich auf die erste Ausgabe des ersten Kapitels jedes Buches. Die meisten Bücher wurden mehrmals überarbeitet (mit erheblichen Änderungen zwischen den Ausgaben), und die Bücher wurden in mehreren Teilen mit unterschiedlichen Kapiteln veröffentlicht (z. B. Buch II, Algebra ), es wurde in fünf Teilen veröffentlicht, der erste im Jahr 1942 mit den Kapiteln 1-2-3 und dem letzten von 1980 mit Kapitel 10).

• Bourbaki, Nicolas (1939). Livre I: Théorie des ensembles [ Buch I: Mengenlehre ] (auf Französisch). ^[8]
• Bourbaki, Nicolas (1942). Livre II: Algèbre [ Buch II: Algebra ] (auf Französisch). ^[9][10][11]
• Bourbaki, Nicolas (1940). Livre III: Topologie [ Buch III: Topologie ] (auf Französisch).
• Bourbaki, Nicolas (1949). Livre IV: Fonctions d'une variable réelle [ Buch IV: Funktionen einer reellen Variablen (auf Französisch).
• Bourbaki, Nicolas (1953). Livre V: Espaces vectoriels topologiques [ Buch V: Topologische Vektorräume ] (auf Französisch).
• Bourbaki, Nicolas (1952). Livre VI: Intégration [ Buch VI: Integration ] (auf Französisch). ^[12][13]
• Bourbaki, Nicolas (1961). Livre VII: Algèbre commutative [ Buch VII: Commutative Algebra ] (auf Französisch). ^[14]
• Bourbaki, Nicolas (1960). Livre VIII: Groupes et algèbres de Lie [ Buch VIII: Lügengruppen und Algebren ] (auf Französisch).
• Bourbaki, Nicolas (1967). Livre IX: Théories spectrales [ Buch IX: Spektraltheorie ] (auf Französisch).
• Bourbaki, Nicolas (1967). Livre X: Variétés différentielles et analytiques [ Buch X: Differenzierbare und analytische Mannigfaltigkeiten ] (auf Französisch).
• Bourbaki, Nicolas (2016). Livre XI: Topologie algébrique [ Buch XI: Algebraische Topologie ] (auf Französisch). ^[15]

Das Buch Variétés différentielles et analytiques war ein de résultats d. h. eine Zusammenfassung der Ergebnisse zur Theorie der Mannigfaltigkeit und keine erarbeitete Darstellung. Das (noch unvollständige) Volumen zur Spektraltheorie ( Théories spectrales ) von 1967 war für fast vier Jahrzehnte das letzte neue Buch, das der Serie hinzugefügt wurde. Danach erschienen mehrere neue Kapitel zu bestehenden Büchern sowie überarbeitete Ausgaben der bestehenden Kapitel bis zur Veröffentlichung der Kapitel 8-9 der Commutative Algebra im Jahr 1983. Eine lange Unterbrechung der Verlagstätigkeit folgte, was viele das Ende des Verlagsprojekts vermuten ließ. 1998 erschien jedoch Kapitel 10 der Commutative Algebra, und nach einer weiteren langen Pause wurde 2012 ein vollständig neu geschriebenes und erweitertes Kapitel 8 von Algèbre veröffentlicht. Wichtiger noch: Die ersten vier Kapitel eines völlig neuen Buches über die algebraische Topologie wurden in veröffentlicht 2016. Das neue Material aus den Jahren 2012 und 2014 enthält einige Hinweise auf kommende Bücher im Buch über Lügengruppen und Algebren; Es gibt noch andere (teilweise sehr genaue) Hinweise auf zu erwartende zusätzliche Kapitel der Buchspektraltheorie.

Neben der Reihe Éléments de mathématique werden seit 1948 auch Vorlesungen aus dem Séminaire Bourbaki in monographischer Form regelmäßig veröffentlicht.

Einfluss auf die Mathematik im Allgemeinen [ edit ]

Von Bourbaki eingeführte Notationen enthalten das Symbol ${\displaystyle \mathrm{<!--\; \varnothing \; -->}}$ leere Set und ein gefährliches Biegungssymbol ☡ und die Begriffe injektiv surjektiv und bijective

[ Zitat benötigt ]

Die Betonung der Strenge kann als Reaktion auf die Arbeit von Henri Poincaré ^[16] gesehen werden, der die Wichtigkeit einer frei fließenden mathematischen Intuition betonte, was jedoch die Vollständigkeit der Darstellung bedeutete . Der Einfluss von Bourbakis Arbeit war anfangs auf viele aktive Forschungsmathematiker weltweit groß. Zum Beispiel:

In unserer Zeit entsteht ein monumentales Werk: eine Darstellung der gesamten heutigen Mathematik. Darüber hinaus wird diese Darstellung so gemacht, dass die gemeinsame Verbindung zwischen den verschiedenen Zweigen der Mathematik deutlich sichtbar wird, dass der Rahmen, der die gesamte Struktur unterstützt, nicht in kurzer Zeit veraltet wird und dass er leicht Neues aufnehmen kann Ideen.

Auch erregte sie eine gewisse Feindseligkeit, meist auf der Seite klassischer Analytiker. Sie stimmten der Strenge zu, nicht aber der hohen Abstraktion. Auch um 1950 waren Teile der Geometrie noch nicht vollständig axiomatisch - in weniger bekannten Entwicklungen, auf die eine oder andere Weise, wurden diese mit den neuen Grundnormen in Einklang gebracht oder leise fallen gelassen. Dies führte zu einer Kluft in der Art und Weise, in der die theoretische Physik praktiziert wurde. ^[17]

Bourbakis direkter Einfluss nahm mit der Zeit ab. ^[17] Dies ist zum Teil darauf zurückzuführen, dass bestimmte Begriffe, die jetzt wichtig sind, wie z Maschinen der Kategorietheorie werden nicht in der Abhandlung behandelt. ^{[ Zitat benötigt ]} Die vollständig einheitliche und im Wesentlichen lineare Bezugsstruktur der Bücher wurde schwierig für Bereiche, die der aktuellen Forschung näher kamen als die Die bereits ausgereiften, in den veröffentlichten Büchern behandelten und damit die Verlagerungstätigkeit verlangsamten sich seit den 1970er Jahren erheblich. ^[18] Es war auch von Bedeutung, dass insbesondere algebraische Strukturen natürlich in Bourbakis Definitionen definiert werden können, es gibt jedoch Bereiche, in denen der Bourbaki-Ansatz weniger einfach war ^{Zitat benötigt}

Auf der anderen Seite haben der Ansatz und die von Bourbaki befürwortete Strenge die derzeitige Mathematik durchdrungen ical Praktiken in einem solchen Ausmaß, dass die Aufgabe erledigt wurde. ^[19] Dies gilt insbesondere für die weniger angewandten Teile der Mathematik.

Die Bourbaki-Seminarserie, die im Paris nach dem Zweiten Weltkrieg gegründet wurde, wird fortgesetzt. Es ist seit 1948 in Betrieb und enthält mehr als 1000 Artikel. Es ist eine wichtige Quelle für Übersichtsartikel mit Skizzen (oder manchmal Verbesserungen) von Beweisen. Die Themen reichen von allen Bereichen der Mathematik bis hin zu theoretischer Physik. Die Idee ist, dass die Präsentation auf der Ebene von Spezialisten sein sollte, aber auf ein Publikum zugeschnitten sein sollte, das nicht auf das jeweilige Fachgebiet spezialisiert ist.

Einschätzung der Bourbaki-Perspektive [ edit ]

Der zugrunde liegende Antrieb war, zumindest in Weil und Chevalley, das Bedürfnis der französischen Mathematik, die besten Ideen der Göttinger Schule aufzunehmen insbesondere Hilbert und die moderne Algebra-Schule von Noether, Artin und van der Waerden. Es ist ziemlich klar, dass der Standpunkt von Bourbaki, während enzyklopädisch nie als neutral gedacht war. Im Gegenteil: Es ging eher darum, aus einigen Enthusiasmen, z. B. für Hilberts Erbe, ein konsequentes Ganzes zu schaffen, mit Schwerpunkt auf Formalismus und Axiomatik. Aber immer durch einen Transformationsprozess von Empfang und Auswahl - ihre Fähigkeit, diesen kollektiven, kritischen Ansatz aufrechtzuerhalten, wurde als &quot;etwas Ungewöhnliches&quot; beschrieben. ^[20]

Das Folgende ist eine Liste einiger der Kritik am Bourbaki-Ansatz. Pierre Cartier, ein Bourbaki-Mitglied zwischen 1955 und 1983, sagte: ^[21]

im Wesentlichen keine Analyse jenseits der Grundlagen: nichts über partielle Differentialgleichungen, nichts über Wahrscheinlichkeit. Es gibt auch nichts über Kombinatorik, nichts über algebraische Topologie, nichts über konkrete Geometrie. Und Bourbaki hat Logik nie ernsthaft in Betracht gezogen. Dieudonné selbst sprach sich gegen die Logik aus. Alles, was mit mathematischer Physik zu tun hat, fehlt in Bourbakis Text völlig.

Darüber hinaus werden Algorithmen als &quot;off-topic&quot; betrachtet und fast vollständig weggelassen. ^[22] Die Analyse wird &quot;weich&quot; und ohne &quot;harte&quot; Schätzungen behandelt. ^{[23] [23]} Die Theorie wird aus funktionalanalytischer Sicht entwickelt. Die Betrachtung lokal kompakter Messräume als grundlegend fokussiert die Präsentation auf Radon-Messgrößen und führt zu einer Herangehensweise an messbare Funktionen, die insbesondere aus Sicht der Wahrscheinlichkeitstheorie umständlich ist. ^[24] Das letzte Kapitel des Buches behandelt jedoch Einschränkungen, insbesondere für die Verwendung in der Wahrscheinlichkeitstheorie der Beschränkung auf lokal kompakte Räume. Die Logik wird minimal behandelt. ^{[25] [26]}

Des Weiteren verwendet Bourbaki in ihrer Präsentation nur begrenzt Bilder. Pierre Cartier wird später zitiert: &quot; Die Bourbaki waren Puritaner, und die Puritaner lehnen bildhafte Darstellungen von Glaubenswahrheiten strikt ab. &quot; ^[21] Im Allgemeinen wurde Bourbaki kritisiert, Geometrie zu reduzieren bis zur abstrakten Algebra und sanften Analyse. ^[27]

Während einige von Bourbakis Büchern zu Standardreferenzen auf ihrem Gebiet geworden sind, haben einige das Gefühl, dass die strenge Darstellung sie als Lehrbücher ungeeignet macht. ^[28] The Der Einfluss von Büchern war möglicherweise am stärksten, als zwischen 1950 und 1960 nur wenige andere Texte für Absolventen der aktuellen reinen Mathematik zur Verfügung standen. ^[29]

Auf längere Sicht hat das Manifest von Bourbaki hatte einen bestimmten und tiefen Einfluss. Im Sekundarbereich korrespondierte die neue Mathematikbewegung mit von Bourbaki beeinflussten Lehrern. In Frankreich wurde die Änderung von der Lichnerowicz-Kommission gesichert. ^[30]

Dieudonné als Redner für Bourbaki edit

. Die öffentliche Diskussion über Bourbakis Gedankengänge und die Rechtfertigung für diese Gedankengänge waren im Allgemeinen durch Jean Dieudonné (der anfangs der &quot;Schreiber&quot; der Gruppe war), schrieb unter seinem eigenen Namen. In einer 1977 erstellten Übersicht von le choix bourbachique scheut er sich nicht vor einer hierarchischen Entwicklung der &quot;wichtigen&quot; Mathematik der Zeit.

Er schrieb auch ausführlich unter seinem eigenen Namen: neun Bände zur Analyse, vielleicht in verspäteter Erfüllung des ursprünglichen Projekts oder Vorwand; und auch zu anderen Themen, die meistens mit algebraischer Geometrie zusammenhängen. Während Dieudonné vernünftigerweise über Bourbakis enzyklopädische Tendenz und Tradition sprechen konnte, kann man bezweifeln, dass - nach unzähligen ehrlichen tais-toi - Dieudonné (19459011) (&quot;Hush, Dieudonné!&quot;) Bei den Versammlungen einverstanden ist ihn über mathematisches Schreiben und Forschung. ^{[ Zitat benötigt} Insbesondere Serre hat sich oft mehr mit Problemlösungen befasst, insbesondere innerhalb der Zahlentheorie, nicht in einem Bereich, der in den wichtigsten Bourbaki-Texten behandelt wird .

Dieudonné vertrat die Ansicht, dass die meisten Arbeiter in der Mathematik Bodenräumungsarbeiten verrichteten, damit ein zukünftiger Riemann den Weg intuitiv offen finden könnte. Er wies darauf hin, wie die axiomatische Methode als Werkzeug zur Problemlösung eingesetzt werden kann, beispielsweise von Alexander Grothendieck. Andere fanden ihn zu nahe an Grothendieck, um ein unvoreingenommener Beobachter zu sein. Kommentare in der Rede von Pál Turán aus dem Jahr 1970 über die Verleihung einer Fields-Medaille an Alan Baker über Theoriebildung und Problemlösung waren eine Antwort des traditionalistischen Lagers bei nächster Gelegenheit. ^[31] Grothendieck erhielt die vorherige Fields-Medaille in Abwesenheit im Jahr 1966.

Siehe auch [ edit ]

People

1. ^ Die Protokolle befinden sich im Bourbaki-Archiv - eine vollständige Beschreibung des ersten Treffens finden Sie in der [] Mathematical Intelligencer .
2. ^ ^{a b} Mainard, Robert (21. Oktober 2001). &quot;Le Mouvement Bourbaki&quot; (PDF) . afb.31.free.fr . 29. Oktober 2018 .
3. ^ Aubin, David (1997). &quot;Die schwindende Unsterblichkeit von Nicolas Bourbaki: Ein kultureller Konnektor im Zusammenfluss von Mathematik, Strukturalismus und Oulipo in Frankreich&quot;. Wissenschaft im Kontext . Cambridge University Press. 10 (2): 297–342. doi: 10.1017 / S0269889700002660.
4. ^ Weil, André (1992). Die Lehre eines Mathematikers . Birkhäuser Verlag. S. 93–122. ISBN 978-3764326500.
5. ^ McCleary, John (10. Dezember 2004). &quot;Bourbaki und algebraische Topologie&quot; (PDF) . math.vassar.edu . Archiviert aus dem Original (PDF) am 30. Oktober 2006.
6. ^ &quot;nach Groth. IV.22&quot; . 2018-10-24 .
7. ^ &quot;Vereinigung der Mitarbeiter von Nicolas Bourbaki&quot;. www.bourbaki.ens.fr (auf Französisch) . 2018-10-29
8. ^ Bagemihl, F. (1958). &quot;Review: Théorie des ensembles (Kapitel III)&quot; (PDF) . Amer. Mathematik. Soc . 64 (6): 390–391. doi: 10.1090 / s0002-9904-1958-10248-7.
9. ^ Artin, E. (1953). &quot;Review: Éléments de mathématique von N. Bourbaki, Buch II, Algebra, Chaps. I – VII&quot; (PDF) . Amer. Mathematik. Soc . 59 (5): 474–479. doi: 10.1090 / s0002-9904-1953-09725-7
10. ^ Rosenberg, Alex (1960). &quot;Review: Éléments de mathématiques von N. Bourbaki. Buch II, Algèbre. Kapitel VIII, Modules et anneaux Semi-Simples &quot; (1945) . Amer. Mathematik. Soc . 66 (1): 16–19. doi: 10.1090 / S0002-9904-1960-10371-0.
11. ^ Kaplansky, Irving (1960). &quot;Review: Formes sesquilinéairies et formes quadratiques von N. Bourbaki, Éléments de mathématique I, Livre II&quot; (1945) . Amer. Mathematik. Soc . 66 (4): 266–267. doi: 10.1090 / s0002-9904-1960-10461-2.
12. ^ Halmos, Paul (1953). &quot;Review: Intégration (Kap. I-IV) von N. Bourbaki&quot; (PDF) . Amer. Mathematik. Soc . 59 (3): 249–255. doi: 10.1090 / S0002-9904-1953-09698-7.
13. ^ Munroe, M. E. (1958). &quot;Review: Intégration (Kapitel V) von N. Bourbaki&quot; (PDF) . Amer. Mathematik. Soc . 64 (3): 105–106. doi: 10.1090 / s0002-9904-1958-10176-7
14. ^ Nagata, M. (1985). &quot; Éléments de mathématique. Algèbre commutative von N. Bourbaki, Chapitres 8 und 9&quot; (PDF) . Amer. Mathematik. Soc. (N. S.) . 12 (1): 175–177. doi: 10.1090 / s0273-0979-1985-15338-8.
15. ^ Bourbaki, Nicolas. &quot;Topologie Algébrique, Chapitres 1 à 4&quot;. springer.com . Springer . Abgerufen 2016-02-08 .
16. ^ Bourbaki konnte sich nach langem Kampf mit Poincaré abfinden. Als ich mich in den fünfziger Jahren der Gruppe anschloss, war es nicht die Mode, Poincaré zu schätzen. Er war altmodisch. Pierre Cartier im Interview mit Marjorie Senechall. &quot;Das anhaltende Schweigen von Bourbaki&quot;. Mathematical Intelligencer . 19 : 22–28. 1998. [1]
17. ^ ^{a b} Stewart, Ian (November 1995). &quot;Bye-Bye Bourbaki: Paradigmenwechsel in der Mathematik&quot;. The Mathematical Gazette . Die mathematische Vereinigung. 79 (486): 496–498. doi: 10.2307 / 3618076. JSTOR 3618076.
18. ^ Borel, Armand (März 1998). &quot;25 Jahre mit Nicolas Bourbaki (1949-1973)&quot; (PDF) . Hinweise Amer. Mathematik. Soc . 45 (3): 373–380,
19. ^ Guedj, Denis (1985). &quot;Nicholas Bourbaki, kollektiver Mathematiker: Ein Interview mit Claude Chevalley&quot;. Math. Intelligencer . 7 (2): 18–22. doi: 10.1007 / BF03024169.
20. ^ Hector C. Sabelli, Louis H. Kauffman, BIOS (2005), p. 423.
21. ^ ^{a b} &quot;The Continuing Silence of Bourbaki&quot;. ega-math.narod.ru . 2018-10-29 .
22. ^ &quot;Bourbaki Nicolas&quot;. publimath.irem.univ-mrs.fr . 2018-10-29
23. ^ Carleson, Lennart (August 2006). &quot;Interview mit Lennart Carleson&quot; (PDF) . matematikkforeningen.no . Archiviert aus dem Original (PDF) am 28.09.2007.
24. ^ König, Heinz. &quot;Stochastische Prozesse auf Basis neuer Maßtheorie&quot;. math.tu-dresden.de . Aus dem Original am 04.03.2007 archiviert.
25. ^ Mathias, Adrien (22. August 1990). &quot;The Ignorance of Bourbaki&quot; (PDF) . dpmms.cam.ac.uk .
26. ^ Siehe auch Mashaal (2006), S.120, &quot;mangelndes Interesse an Stiftungen&quot;
27. [1945652]. Gispert, Hélène (2000). &quot;Pourquoi, pour qui enseigner les mathématiques?&quot; [Why, for whom, teach mathematics?] (PDF) . apmep.fr (auf Französisch) . 2018-10-29
28. ^ Hewitt, Edwin (1956). &quot;Review: Espaces vectoriels topologiques&quot;. Bulletin der American Mathematical Society . 62 (5): 507–508. doi: 10.1090 / S0002-9904-1956-10042-6. [2]
29. ^ http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/PrintHT/Bourbaki_2.html
30. ^ 19659090] Mashaal (2006) Ch.10: Neue Mathematik im Klassenzimmer
31. ^ Kirche, Alonzo (1. Januar 1972). &quot;Rückblick auf die Arbeit von., Paul Turán; Effektive Methoden in der Zahlentheorie., Alan Baker&quot;. 37 (3): 606–606. doi: 10.2307 / 2272765. JSTOR 2272765.

Referenzen [ edit ]

Externe Links [ bearbeiten ]