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In der Mathematik wird eine kubische cuspidal kubische oder semikubische Parabel als algebraische Ebenenkurve definiert durch eine Gleichung der Form
Die Lösung für y { displaystyle y} führt zur expliziten Form .
Gleichung (A) zeigt, dass
ist eine parametrische Darstellung der Kurve. [1]
Die Bogenlänge der Kurve wurde vom englischen Mathematiker William Neile berechnet und 1657 veröffentlicht (siehe Abschnitt Geschichte). [2].
Der Beweis folgt aus dem Tangentenvektor ( 2 t 3 t 2 ) T {Anzeigestil (2t, 3t ^ {2}) ^ {T}} . Nur für t = 0 { displaystyle t = 0} hat dieser Vektor eine Länge von Null.
Differenzierung der semikubischen Einheitsparabel y = x 3 2 { displaystyle ; y = pm x ^ { frac {3} {2}} ;} wird an Punkt ( x 0 y 0 ) { displaystyle (x_ {0}, y_ {0})} des oberen verzweigt die Gleichung der Tangente: y = x 0 2 (19659260) 3 x - [19589245] x 19659245] ) . { displaystyle y = { frac { sqrt {x_ {0}}} {2}} { Big (} 3x-x_ {0} { Big)} ;.} Dieser Tangens schneidet den Zweig Lower an genau einem weiteren Punkt mit Koordinaten [3] ( x 0 4 0 [19659273] 8 ) . { displaystyle { Big (} { frac {x_ {0}} {4}}, - { frac {y_ {0}} {8}} { Big)} ;.} (19659245) x 0 y trifft. 0 ) { displaystyle (x_ {0}, y_ {0})} zweimal.) Bogenlänge [ edit ] Bestimmung der Bogenlänge einer Kurve ( x ( t ) . 19659044] y ( t ) ) {Anzeigestil (x (t), y (t))} muss das Integral gelöst werden 19 x (19659044) t 2 y ' ( t ) 2 d t {[displaystyle int { sqrt {x' (t) ^ {2} +] y '(t) ^ {2}}} dt} . Für die semikubische Parabel ( t 2 a t 3 0 0 ] t ≤ b { displaystyle (t ^ {2}, at ^ {3}), 0 leq t leq b ;,} [1945 0 b x ' ( t ) 2 + + + + . ' ( t ) 2 d t = [1945 19659315] 0 t t t t t ] 4 + 9 a 2 t 2 d t = = 19659057] 1 27 a 2 ( 4 + 9 2 2 2 2 ) 3 2 ] 0 b . . { displaystyle int _ {0} ^ {b} { sqrt {x '(t) ^ {2} + y' (t) ^ {2}}} ; dt = int _ {0} ^ {b} t { sqrt {4 + 9a ^ {2} t ^ {2 }}} ; dt = cdots = { Big [}{frac {1}{27a^{2}}}(4+9a^{2}t^{2})^{frac {3}{2}}{Big ]} _ {0} ^ {b} ;.} (Die Integra l kann gelöst werden durch die Substitution von u = 4 + 9 a 2 t 2 displaystyle u = 4 + 9a ^ {2} t ^ {2}} .) Beispiel: Für a = 1 { displaystyle a = 1} (halbkubische Einheitsparabel) und b = 2 { displaystyle b = 2} was die Länge des Bogens zwischen Ursprung und Punkt bedeutet 4 ] 8 ) { displaystyle (4,8)} man erhält die Bogenlänge 9 073 . { displaystyle 9.073 }. Entwicklung der Einheit Parabel [ edit ] Die Entwicklung der Parabel ( 2 2 t ) { displaystyle (t ^ {2}, t)} ist eine um 1 verschobene semikubische Parabel / 2 entlang der x-Achse: ( 1 2 + t 2 4 3 3 3 3 ] t 3 ) . { displaystyle ({ frac {1} {2}} + t ^ {2}, { frac {4} {{ sqrt {3 }} ^ {3}}} t ^ {3}) ;.} Polarkoordinaten [ bearbeiten ] Um die Darstellung der semikubischen Parabel zu erhalten ( t 2 a t 3 displaystyle (t ^ {2}, at ^ {3})} in Polarkoordinaten bestimmt man den Schnittpunkt der Linie y = m x { displaystyle y = mx} mit der Kurve. Für m [1945 0 { displaystyle m neq 0} gibt es einen Punkt, der sich vom Ursprung unterscheidet: ( m 2 a 2 m 3 a 2 [196595119] ({ frac {m ^ {2}}} {a ^ {2}}, { frac {m ^ {3}} {a ^ {2}}})} . Dieser Punkt hat einen Abstand m 2 a 2 1 + m 2 { displaystyle { frac {m {{2} }} {a ^ {2}}} { sqrt {1 + m ^ {2}}}} vom Ursprung aus. Mit m = tan [1945 12 { displaystyle m = tan varphi} und sek 2 [ = 1 [1965974] + tan 19659007][1945 φ { displaystyle sec ^ {2} varphi = 1 + tan ^ {2} varphi} (siehe Liste der Identitäten), man erhält [4] <math > r = ( tan [1945 a ] 2 sec ] [1945 - / 2 [19459] 129] π / 2 . {19 displaystyle r = { Big (} { fran { tan varphi} {a} } { Big)} {2} cdot sec varphi , quad - pi / 2 < varphi < pi / 2 .} <img src = "https: // wikimedia .org / api / rest_v1 / media / math / render / svg / 6e56809c60d94c378674dfff68a506602031986e "class =" mwe-math-fallback-image-inline "aria-hidden =" true "style =" vertical-align: -1.838ex; Breite: 42.715ex; height: 5.176ex; "alt =" { displaystyle r = { groß (} { frac { tan varphi} {a}} { Big)} ^ {2} cdot sec varphi ;, quad - pi / 2 < varphi Beziehung zwischen einer semikubischen Parabel und einer kubischen -Funktion (grün) Beziehung zwischen einer semikubischen Parabel und einer kubischen Funktion [ ] Kartierung der semikubischen Parabel ( t 2 t 3 ) (19659087) (19659087) (19659087) (19659087). 2}, t ^ {3})} durch die Projektionskarte x y ) → ( x y 1 y y y y ] { displaystyle (x, y) rightarrow ({ tfrac {x} {y}}, { tfrac {1} {y}})} (involutorische Perspektivität mit der Achse y = 1 { disp laystyle y = 1} und Mitte ( 0 - 1 { displaystyle (0, -1)} ) ergibt ( 1 t 1 t 3 ) { displaystyle ({ frac {1} {t}}, { frac {1} {t ^ {3}}})} ]daher die kubische Funktion y ] = x 3 { displaystyle y = x ^ {3}} . Der Scheitelpunkt (Ursprung) der semikubischen Parabel wird mit dem Punkt im Unendlichen der y-Achse ausgetauscht. Diese Eigenschaft kann auch abgeleitet werden, wenn man die semikubische Parabel durch homogene Koordinaten repräsentiert : In Gleichung (A) der Ersatz x = ] x 1 x 3 y = x 2 x 3 3 { tfrac {x_ {1}} {x_ {3}}, ; y = { tfrac {x_ {2}} {x_ {3}}}} (die Zeile im Unendlichen hat Gleichung x 3 = 0 { displaystyle x_ {3} = 0} .) und die Multiplikation mit . x 3 3 { displaystyle x_ {3} ^ {3}} wird ausgeführt. Man erhält die Gleichung der Kurve in homogene Koordinaten : x 3 x 2 2 - 1 19659676] = 0 . { displaystyle quad x_ {3} x_ {2} ^ {2} -x_ {1} ^ {3} = 0 ;.} Auswahlzeile x 2 = 0 { displaystyle x _ { color {red} 2} = 0} als Zeile bei unendlich und einführend x = x 1 x 2 y x x x x 2 { displaystyle x = { tfrac {x_ {1}} {x_ {2}}}, ; y = { tfrac {x_ {3}} {x_ {2}}} } ergibt die (affine) Kurve y = x 3 . {Displaystyle y = x ^ {3} ;.} . Isochrone-Kurve [ edit ] Eine weitere definierende Eigenschaft der semikubischen Parabel ist, dass es sich um eine -Isochrone-Kurve handelt, was bedeutet, dass ein Partikel folgt Sein Weg, während er durch die Schwerkraft nach unten gezogen wird, durchläuft gleiche vertikale Intervalle in gleichen Zeiträumen. Auf diese Weise ist es mit der Tautochronenkurve verknüpft, für die Partikel an verschiedenen Startpunkten immer gleich lange brauchen, um den Boden zu erreichen, und mit der Brachistochronkurve. Diese Kurve minimiert die Zeit, die ein fallendes Partikel von seinem Anfang bis zum Transport benötigt sein Ende. Geschichte [ edit ] Die semikubische Parabel wurde 1657 von William Neile entdeckt, der seine Bogenlänge berechnete. Obwohl die Längen einiger anderer nichtalgebraischer Kurven einschließlich der logarithmischen Spirale und des Zykloids bereits berechnet worden waren (dh diese Kurven wurden korrigiert), war die semikubische Parabel die erste algebraische Kurve (mit Ausnahme der Linie und der Linie) zu korrigieren. [1] [ umstritten (für: Es scheint, als seien Parabel und andere konische Abschnitte vor langer Zeit gleichgerichtet worden). - Diskutieren . 19659093] [ edit ] ^ a b Pickover, Clifford A. (2009), "Die Länge von Neiles Semicubical Parabola ", Das mathematische Buch: Von Pythagoras zur 57. Dimension, 250 Meilensteine in der Geschichte der Mathematik Sterling Publishing Company, Inc., p. 148, ISBN 9781402757969 . ^ August Pein: Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten S. 2 August Pein: Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten S.26 ^ August Pein: Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten p. 10 Externe Links [ edit ] No comments: Post a Comment Newer Post Older Post Home Subscribe to: Post Comments (Atom)
Dieser Tangens schneidet den Zweig Lower an genau einem weiteren Punkt mit Koordinaten [3]
0 [19659273] 8 ) . { displaystyle { Big (} { frac {x_ {0}} {4}}, - { frac {y_ {0}} {8}} { Big)} ;.} (19659245) x 0 y trifft. 0 ) { displaystyle (x_ {0}, y_ {0})} zweimal.)
Bestimmung der Bogenlänge einer Kurve ( x ( t ) . 19659044] y ( t ) ) {Anzeigestil (x (t), y (t))} muss das Integral gelöst werden 19 x (19659044) t 2 y ' ( t ) 2 d t {[displaystyle int { sqrt {x' (t) ^ {2} +] y '(t) ^ {2}}} dt} . Für die semikubische Parabel ( t 2 a t 3 0 0 ] t ≤ b { displaystyle (t ^ {2}, at ^ {3}), 0 leq t leq b ;,} [1945 0 b x ' ( t ) 2 + + + + . ' ( t ) 2 d t = [1945 19659315] 0 t t t t t ] 4 + 9 a 2 t 2 d t = = 19659057] 1 27 a 2 ( 4 + 9 2 2 2 2 ) 3 2 ] 0 b . . { displaystyle int _ {0} ^ {b} { sqrt {x '(t) ^ {2} + y' (t) ^ {2}}} ; dt = int _ {0} ^ {b} t { sqrt {4 + 9a ^ {2} t ^ {2 }}} ; dt = cdots = { Big [}{frac {1}{27a^{2}}}(4+9a^{2}t^{2})^{frac {3}{2}}{Big ]} _ {0} ^ {b} ;.} (Die Integra l kann gelöst werden durch die Substitution von u = 4 + 9 a 2 t 2 displaystyle u = 4 + 9a ^ {2} t ^ {2}} .) Beispiel: Für a = 1 { displaystyle a = 1} (halbkubische Einheitsparabel) und b = 2 { displaystyle b = 2} was die Länge des Bogens zwischen Ursprung und Punkt bedeutet 4 ] 8 ) { displaystyle (4,8)} man erhält die Bogenlänge 9 073 . { displaystyle 9.073 }. Entwicklung der Einheit Parabel [ edit ] Die Entwicklung der Parabel ( 2 2 t ) { displaystyle (t ^ {2}, t)} ist eine um 1 verschobene semikubische Parabel / 2 entlang der x-Achse: ( 1 2 + t 2 4 3 3 3 3 ] t 3 ) . { displaystyle ({ frac {1} {2}} + t ^ {2}, { frac {4} {{ sqrt {3 }} ^ {3}}} t ^ {3}) ;.} Polarkoordinaten [ bearbeiten ] Um die Darstellung der semikubischen Parabel zu erhalten ( t 2 a t 3 displaystyle (t ^ {2}, at ^ {3})} in Polarkoordinaten bestimmt man den Schnittpunkt der Linie y = m x { displaystyle y = mx} mit der Kurve. Für m [1945 0 { displaystyle m neq 0} gibt es einen Punkt, der sich vom Ursprung unterscheidet: ( m 2 a 2 m 3 a 2 [196595119] ({ frac {m ^ {2}}} {a ^ {2}}, { frac {m ^ {3}} {a ^ {2}}})} . Dieser Punkt hat einen Abstand m 2 a 2 1 + m 2 { displaystyle { frac {m {{2} }} {a ^ {2}}} { sqrt {1 + m ^ {2}}}} vom Ursprung aus. Mit m = tan [1945 12 { displaystyle m = tan varphi} und sek 2 [ = 1 [1965974] + tan 19659007][1945 φ { displaystyle sec ^ {2} varphi = 1 + tan ^ {2} varphi} (siehe Liste der Identitäten), man erhält [4] <math > r = ( tan [1945 a ] 2 sec ] [1945 - / 2 [19459] 129] π / 2 . {19 displaystyle r = { Big (} { fran { tan varphi} {a} } { Big)} {2} cdot sec varphi , quad - pi / 2 < varphi < pi / 2 .} <img src = "https: // wikimedia .org / api / rest_v1 / media / math / render / svg / 6e56809c60d94c378674dfff68a506602031986e "class =" mwe-math-fallback-image-inline "aria-hidden =" true "style =" vertical-align: -1.838ex; Breite: 42.715ex; height: 5.176ex; "alt =" { displaystyle r = { groß (} { frac { tan varphi} {a}} { Big)} ^ {2} cdot sec varphi ;, quad - pi / 2 < varphi Beziehung zwischen einer semikubischen Parabel und einer kubischen -Funktion (grün) Beziehung zwischen einer semikubischen Parabel und einer kubischen Funktion [ ] Kartierung der semikubischen Parabel ( t 2 t 3 ) (19659087) (19659087) (19659087) (19659087). 2}, t ^ {3})} durch die Projektionskarte x y ) → ( x y 1 y y y y ] { displaystyle (x, y) rightarrow ({ tfrac {x} {y}}, { tfrac {1} {y}})} (involutorische Perspektivität mit der Achse y = 1 { disp laystyle y = 1} und Mitte ( 0 - 1 { displaystyle (0, -1)} ) ergibt ( 1 t 1 t 3 ) { displaystyle ({ frac {1} {t}}, { frac {1} {t ^ {3}}})} ]daher die kubische Funktion y ] = x 3 { displaystyle y = x ^ {3}} . Der Scheitelpunkt (Ursprung) der semikubischen Parabel wird mit dem Punkt im Unendlichen der y-Achse ausgetauscht. Diese Eigenschaft kann auch abgeleitet werden, wenn man die semikubische Parabel durch homogene Koordinaten repräsentiert : In Gleichung (A) der Ersatz x = ] x 1 x 3 y = x 2 x 3 3 { tfrac {x_ {1}} {x_ {3}}, ; y = { tfrac {x_ {2}} {x_ {3}}}} (die Zeile im Unendlichen hat Gleichung x 3 = 0 { displaystyle x_ {3} = 0} .) und die Multiplikation mit . x 3 3 { displaystyle x_ {3} ^ {3}} wird ausgeführt. Man erhält die Gleichung der Kurve in homogene Koordinaten : x 3 x 2 2 - 1 19659676] = 0 . { displaystyle quad x_ {3} x_ {2} ^ {2} -x_ {1} ^ {3} = 0 ;.} Auswahlzeile x 2 = 0 { displaystyle x _ { color {red} 2} = 0} als Zeile bei unendlich und einführend x = x 1 x 2 y x x x x 2 { displaystyle x = { tfrac {x_ {1}} {x_ {2}}}, ; y = { tfrac {x_ {3}} {x_ {2}}} } ergibt die (affine) Kurve y = x 3 . {Displaystyle y = x ^ {3} ;.} . Isochrone-Kurve [ edit ] Eine weitere definierende Eigenschaft der semikubischen Parabel ist, dass es sich um eine -Isochrone-Kurve handelt, was bedeutet, dass ein Partikel folgt Sein Weg, während er durch die Schwerkraft nach unten gezogen wird, durchläuft gleiche vertikale Intervalle in gleichen Zeiträumen. Auf diese Weise ist es mit der Tautochronenkurve verknüpft, für die Partikel an verschiedenen Startpunkten immer gleich lange brauchen, um den Boden zu erreichen, und mit der Brachistochronkurve. Diese Kurve minimiert die Zeit, die ein fallendes Partikel von seinem Anfang bis zum Transport benötigt sein Ende. Geschichte [ edit ] Die semikubische Parabel wurde 1657 von William Neile entdeckt, der seine Bogenlänge berechnete. Obwohl die Längen einiger anderer nichtalgebraischer Kurven einschließlich der logarithmischen Spirale und des Zykloids bereits berechnet worden waren (dh diese Kurven wurden korrigiert), war die semikubische Parabel die erste algebraische Kurve (mit Ausnahme der Linie und der Linie) zu korrigieren. [1] [ umstritten (für: Es scheint, als seien Parabel und andere konische Abschnitte vor langer Zeit gleichgerichtet worden). - Diskutieren . 19659093] [ edit ] ^ a b Pickover, Clifford A. (2009), "Die Länge von Neiles Semicubical Parabola ", Das mathematische Buch: Von Pythagoras zur 57. Dimension, 250 Meilensteine in der Geschichte der Mathematik Sterling Publishing Company, Inc., p. 148, ISBN 9781402757969 . ^ August Pein: Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten S. 2 August Pein: Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten S.26 ^ August Pein: Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten p. 10 Externe Links [ edit ] No comments: Post a Comment Newer Post Older Post Home Subscribe to: Post Comments (Atom)
(Die Integra l kann gelöst werden durch die Substitution von u = 4 + 9 a 2 t 2 displaystyle u = 4 + 9a ^ {2} t ^ {2}} .) Beispiel: Für a = 1 { displaystyle a = 1} (halbkubische Einheitsparabel) und b = 2 { displaystyle b = 2} was die Länge des Bogens zwischen Ursprung und Punkt bedeutet 4 ] 8 ) { displaystyle (4,8)} man erhält die Bogenlänge 9 073 . { displaystyle 9.073 }. Entwicklung der Einheit Parabel [ edit ] Die Entwicklung der Parabel ( 2 2 t ) { displaystyle (t ^ {2}, t)} ist eine um 1 verschobene semikubische Parabel / 2 entlang der x-Achse: ( 1 2 + t 2 4 3 3 3 3 ] t 3 ) . { displaystyle ({ frac {1} {2}} + t ^ {2}, { frac {4} {{ sqrt {3 }} ^ {3}}} t ^ {3}) ;.} Polarkoordinaten [ bearbeiten ] Um die Darstellung der semikubischen Parabel zu erhalten ( t 2 a t 3 displaystyle (t ^ {2}, at ^ {3})} in Polarkoordinaten bestimmt man den Schnittpunkt der Linie y = m x { displaystyle y = mx} mit der Kurve. Für m [1945 0 { displaystyle m neq 0} gibt es einen Punkt, der sich vom Ursprung unterscheidet: ( m 2 a 2 m 3 a 2 [196595119] ({ frac {m ^ {2}}} {a ^ {2}}, { frac {m ^ {3}} {a ^ {2}}})} . Dieser Punkt hat einen Abstand m 2 a 2 1 + m 2 { displaystyle { frac {m {{2} }} {a ^ {2}}} { sqrt {1 + m ^ {2}}}} vom Ursprung aus. Mit m = tan [1945 12 { displaystyle m = tan varphi} und sek 2 [ = 1 [1965974] + tan 19659007][1945 φ { displaystyle sec ^ {2} varphi = 1 + tan ^ {2} varphi} (siehe Liste der Identitäten), man erhält [4] <math > r = ( tan [1945 a ] 2 sec ] [1945 - / 2 [19459] 129] π / 2 . {19 displaystyle r = { Big (} { fran { tan varphi} {a} } { Big)} {2} cdot sec varphi , quad - pi / 2 < varphi < pi / 2 .} <img src = "https: // wikimedia .org / api / rest_v1 / media / math / render / svg / 6e56809c60d94c378674dfff68a506602031986e "class =" mwe-math-fallback-image-inline "aria-hidden =" true "style =" vertical-align: -1.838ex; Breite: 42.715ex; height: 5.176ex; "alt =" { displaystyle r = { groß (} { frac { tan varphi} {a}} { Big)} ^ {2} cdot sec varphi ;, quad - pi / 2 < varphi Beziehung zwischen einer semikubischen Parabel und einer kubischen -Funktion (grün) Beziehung zwischen einer semikubischen Parabel und einer kubischen Funktion [ ] Kartierung der semikubischen Parabel ( t 2 t 3 ) (19659087) (19659087) (19659087) (19659087). 2}, t ^ {3})} durch die Projektionskarte x y ) → ( x y 1 y y y y ] { displaystyle (x, y) rightarrow ({ tfrac {x} {y}}, { tfrac {1} {y}})} (involutorische Perspektivität mit der Achse y = 1 { disp laystyle y = 1} und Mitte ( 0 - 1 { displaystyle (0, -1)} ) ergibt ( 1 t 1 t 3 ) { displaystyle ({ frac {1} {t}}, { frac {1} {t ^ {3}}})} ]daher die kubische Funktion y ] = x 3 { displaystyle y = x ^ {3}} . Der Scheitelpunkt (Ursprung) der semikubischen Parabel wird mit dem Punkt im Unendlichen der y-Achse ausgetauscht. Diese Eigenschaft kann auch abgeleitet werden, wenn man die semikubische Parabel durch homogene Koordinaten repräsentiert : In Gleichung (A) der Ersatz x = ] x 1 x 3 y = x 2 x 3 3 { tfrac {x_ {1}} {x_ {3}}, ; y = { tfrac {x_ {2}} {x_ {3}}}} (die Zeile im Unendlichen hat Gleichung x 3 = 0 { displaystyle x_ {3} = 0} .) und die Multiplikation mit . x 3 3 { displaystyle x_ {3} ^ {3}} wird ausgeführt. Man erhält die Gleichung der Kurve in homogene Koordinaten : x 3 x 2 2 - 1 19659676] = 0 . { displaystyle quad x_ {3} x_ {2} ^ {2} -x_ {1} ^ {3} = 0 ;.} Auswahlzeile x 2 = 0 { displaystyle x _ { color {red} 2} = 0} als Zeile bei unendlich und einführend x = x 1 x 2 y x x x x 2 { displaystyle x = { tfrac {x_ {1}} {x_ {2}}}, ; y = { tfrac {x_ {3}} {x_ {2}}} } ergibt die (affine) Kurve y = x 3 . {Displaystyle y = x ^ {3} ;.} . Isochrone-Kurve [ edit ] Eine weitere definierende Eigenschaft der semikubischen Parabel ist, dass es sich um eine -Isochrone-Kurve handelt, was bedeutet, dass ein Partikel folgt Sein Weg, während er durch die Schwerkraft nach unten gezogen wird, durchläuft gleiche vertikale Intervalle in gleichen Zeiträumen. Auf diese Weise ist es mit der Tautochronenkurve verknüpft, für die Partikel an verschiedenen Startpunkten immer gleich lange brauchen, um den Boden zu erreichen, und mit der Brachistochronkurve. Diese Kurve minimiert die Zeit, die ein fallendes Partikel von seinem Anfang bis zum Transport benötigt sein Ende. Geschichte [ edit ] Die semikubische Parabel wurde 1657 von William Neile entdeckt, der seine Bogenlänge berechnete. Obwohl die Längen einiger anderer nichtalgebraischer Kurven einschließlich der logarithmischen Spirale und des Zykloids bereits berechnet worden waren (dh diese Kurven wurden korrigiert), war die semikubische Parabel die erste algebraische Kurve (mit Ausnahme der Linie und der Linie) zu korrigieren. [1] [ umstritten (für: Es scheint, als seien Parabel und andere konische Abschnitte vor langer Zeit gleichgerichtet worden). - Diskutieren . 19659093] [ edit ] ^ a b Pickover, Clifford A. (2009), "Die Länge von Neiles Semicubical Parabola ", Das mathematische Buch: Von Pythagoras zur 57. Dimension, 250 Meilensteine in der Geschichte der Mathematik Sterling Publishing Company, Inc., p. 148, ISBN 9781402757969 . ^ August Pein: Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten S. 2 August Pein: Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten S.26 ^ August Pein: Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten p. 10 Externe Links [ edit ] No comments: Post a Comment Newer Post Older Post Home Subscribe to: Post Comments (Atom)
Beispiel: Für a = 1 { displaystyle a = 1} (halbkubische Einheitsparabel) und b = 2 { displaystyle b = 2} was die Länge des Bogens zwischen Ursprung und Punkt bedeutet 4 ] 8 ) { displaystyle (4,8)} man erhält die Bogenlänge 9 073 . { displaystyle 9.073 }.
Um die Darstellung der semikubischen Parabel zu erhalten ( t 2 a t 3 displaystyle (t ^ {2}, at ^ {3})} in Polarkoordinaten bestimmt man den Schnittpunkt der Linie y = m x { displaystyle y = mx} mit der Kurve. Für m [1945 0 { displaystyle m neq 0} gibt es einen Punkt, der sich vom Ursprung unterscheidet: ( m 2 a 2 m 3 a 2 [196595119] ({ frac {m ^ {2}}} {a ^ {2}}, { frac {m ^ {3}} {a ^ {2}}})} . Dieser Punkt hat einen Abstand m 2 a 2 1 + m 2 { displaystyle { frac {m {{2} }} {a ^ {2}}} { sqrt {1 + m ^ {2}}}} vom Ursprung aus. Mit m = tan [1945 12 { displaystyle m = tan varphi} und sek 2 [ = 1 [1965974] + tan 19659007][1945 φ { displaystyle sec ^ {2} varphi = 1 + tan ^ {2} varphi} (siehe Liste der Identitäten), man erhält [4] <math > r = ( tan [1945 a ] 2 sec ] [1945 - / 2 [19459] 129] π / 2 . {19 displaystyle r = { Big (} { fran { tan varphi} {a} } { Big)} {2} cdot sec varphi , quad - pi / 2 < varphi < pi / 2 .} <img src = "https: // wikimedia .org / api / rest_v1 / media / math / render / svg / 6e56809c60d94c378674dfff68a506602031986e "class =" mwe-math-fallback-image-inline "aria-hidden =" true "style =" vertical-align: -1.838ex; Breite: 42.715ex; height: 5.176ex; "alt =" { displaystyle r = { groß (} { frac { tan varphi} {a}} { Big)} ^ {2} cdot sec varphi ;, quad - pi / 2 < varphi Beziehung zwischen einer semikubischen Parabel und einer kubischen -Funktion (grün) Beziehung zwischen einer semikubischen Parabel und einer kubischen Funktion [ ] Kartierung der semikubischen Parabel ( t 2 t 3 ) (19659087) (19659087) (19659087) (19659087). 2}, t ^ {3})} durch die Projektionskarte x y ) → ( x y 1 y y y y ] { displaystyle (x, y) rightarrow ({ tfrac {x} {y}}, { tfrac {1} {y}})} (involutorische Perspektivität mit der Achse y = 1 { disp laystyle y = 1} und Mitte ( 0 - 1 { displaystyle (0, -1)} ) ergibt ( 1 t 1 t 3 ) { displaystyle ({ frac {1} {t}}, { frac {1} {t ^ {3}}})} ]daher die kubische Funktion y ] = x 3 { displaystyle y = x ^ {3}} . Der Scheitelpunkt (Ursprung) der semikubischen Parabel wird mit dem Punkt im Unendlichen der y-Achse ausgetauscht. Diese Eigenschaft kann auch abgeleitet werden, wenn man die semikubische Parabel durch homogene Koordinaten repräsentiert : In Gleichung (A) der Ersatz x = ] x 1 x 3 y = x 2 x 3 3 { tfrac {x_ {1}} {x_ {3}}, ; y = { tfrac {x_ {2}} {x_ {3}}}} (die Zeile im Unendlichen hat Gleichung x 3 = 0 { displaystyle x_ {3} = 0} .) und die Multiplikation mit . x 3 3 { displaystyle x_ {3} ^ {3}} wird ausgeführt. Man erhält die Gleichung der Kurve in homogene Koordinaten : x 3 x 2 2 - 1 19659676] = 0 . { displaystyle quad x_ {3} x_ {2} ^ {2} -x_ {1} ^ {3} = 0 ;.} Auswahlzeile x 2 = 0 { displaystyle x _ { color {red} 2} = 0} als Zeile bei unendlich und einführend x = x 1 x 2 y x x x x 2 { displaystyle x = { tfrac {x_ {1}} {x_ {2}}}, ; y = { tfrac {x_ {3}} {x_ {2}}} } ergibt die (affine) Kurve y = x 3 . {Displaystyle y = x ^ {3} ;.} . Isochrone-Kurve [ edit ] Eine weitere definierende Eigenschaft der semikubischen Parabel ist, dass es sich um eine -Isochrone-Kurve handelt, was bedeutet, dass ein Partikel folgt Sein Weg, während er durch die Schwerkraft nach unten gezogen wird, durchläuft gleiche vertikale Intervalle in gleichen Zeiträumen. Auf diese Weise ist es mit der Tautochronenkurve verknüpft, für die Partikel an verschiedenen Startpunkten immer gleich lange brauchen, um den Boden zu erreichen, und mit der Brachistochronkurve. Diese Kurve minimiert die Zeit, die ein fallendes Partikel von seinem Anfang bis zum Transport benötigt sein Ende. Geschichte [ edit ] Die semikubische Parabel wurde 1657 von William Neile entdeckt, der seine Bogenlänge berechnete. Obwohl die Längen einiger anderer nichtalgebraischer Kurven einschließlich der logarithmischen Spirale und des Zykloids bereits berechnet worden waren (dh diese Kurven wurden korrigiert), war die semikubische Parabel die erste algebraische Kurve (mit Ausnahme der Linie und der Linie) zu korrigieren. [1] [ umstritten (für: Es scheint, als seien Parabel und andere konische Abschnitte vor langer Zeit gleichgerichtet worden). - Diskutieren . 19659093] [ edit ] ^ a b Pickover, Clifford A. (2009), "Die Länge von Neiles Semicubical Parabola ", Das mathematische Buch: Von Pythagoras zur 57. Dimension, 250 Meilensteine in der Geschichte der Mathematik Sterling Publishing Company, Inc., p. 148, ISBN 9781402757969 . ^ August Pein: Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten S. 2 August Pein: Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten S.26 ^ August Pein: Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten p. 10 Externe Links [ edit ] No comments: Post a Comment Newer Post Older Post Home Subscribe to: Post Comments (Atom)
Kartierung der semikubischen Parabel ( t 2 t 3 ) (19659087) (19659087) (19659087) (19659087). 2}, t ^ {3})} durch die Projektionskarte x y ) → ( x y 1 y y y y ] { displaystyle (x, y) rightarrow ({ tfrac {x} {y}}, { tfrac {1} {y}})} (involutorische Perspektivität mit der Achse y = 1 { disp laystyle y = 1} und Mitte ( 0 - 1 { displaystyle (0, -1)} ) ergibt ( 1 t 1 t 3 ) { displaystyle ({ frac {1} {t}}, { frac {1} {t ^ {3}}})} ]daher die kubische Funktion y ] = x 3 { displaystyle y = x ^ {3}} . Der Scheitelpunkt (Ursprung) der semikubischen Parabel wird mit dem Punkt im Unendlichen der y-Achse ausgetauscht. Diese Eigenschaft kann auch abgeleitet werden, wenn man die semikubische Parabel durch homogene Koordinaten repräsentiert : In Gleichung (A) der Ersatz x = ] x 1 x 3 y = x 2 x 3 3 { tfrac {x_ {1}} {x_ {3}}, ; y = { tfrac {x_ {2}} {x_ {3}}}} (die Zeile im Unendlichen hat Gleichung x 3 = 0 { displaystyle x_ {3} = 0} .) und die Multiplikation mit . x 3 3 { displaystyle x_ {3} ^ {3}} wird ausgeführt. Man erhält die Gleichung der Kurve in homogene Koordinaten : x 3 x 2 2 - 1 19659676] = 0 . { displaystyle quad x_ {3} x_ {2} ^ {2} -x_ {1} ^ {3} = 0 ;.} Auswahlzeile x 2 = 0 { displaystyle x _ { color {red} 2} = 0} als Zeile bei unendlich und einführend x = x 1 x 2 y x x x x 2 { displaystyle x = { tfrac {x_ {1}} {x_ {2}}}, ; y = { tfrac {x_ {3}} {x_ {2}}} } ergibt die (affine) Kurve y = x 3 . {Displaystyle y = x ^ {3} ;.} . Isochrone-Kurve [ edit ] Eine weitere definierende Eigenschaft der semikubischen Parabel ist, dass es sich um eine -Isochrone-Kurve handelt, was bedeutet, dass ein Partikel folgt Sein Weg, während er durch die Schwerkraft nach unten gezogen wird, durchläuft gleiche vertikale Intervalle in gleichen Zeiträumen. Auf diese Weise ist es mit der Tautochronenkurve verknüpft, für die Partikel an verschiedenen Startpunkten immer gleich lange brauchen, um den Boden zu erreichen, und mit der Brachistochronkurve. Diese Kurve minimiert die Zeit, die ein fallendes Partikel von seinem Anfang bis zum Transport benötigt sein Ende. Geschichte [ edit ] Die semikubische Parabel wurde 1657 von William Neile entdeckt, der seine Bogenlänge berechnete. Obwohl die Längen einiger anderer nichtalgebraischer Kurven einschließlich der logarithmischen Spirale und des Zykloids bereits berechnet worden waren (dh diese Kurven wurden korrigiert), war die semikubische Parabel die erste algebraische Kurve (mit Ausnahme der Linie und der Linie) zu korrigieren. [1] [ umstritten (für: Es scheint, als seien Parabel und andere konische Abschnitte vor langer Zeit gleichgerichtet worden). - Diskutieren . 19659093] [ edit ] ^ a b Pickover, Clifford A. (2009), "Die Länge von Neiles Semicubical Parabola ", Das mathematische Buch: Von Pythagoras zur 57. Dimension, 250 Meilensteine in der Geschichte der Mathematik Sterling Publishing Company, Inc., p. 148, ISBN 9781402757969 . ^ August Pein: Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten S. 2 August Pein: Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten S.26 ^ August Pein: Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten p. 10 Externe Links [ edit ] No comments: Post a Comment Newer Post Older Post Home Subscribe to: Post Comments (Atom)
Diese Eigenschaft kann auch abgeleitet werden, wenn man die semikubische Parabel durch homogene Koordinaten repräsentiert : In Gleichung (A) der Ersatz x = ] x 1 x 3 y = x 2 x 3 3 { tfrac {x_ {1}} {x_ {3}}, ; y = { tfrac {x_ {2}} {x_ {3}}}} (die Zeile im Unendlichen hat Gleichung x 3 = 0 { displaystyle x_ {3} = 0} .) und die Multiplikation mit . x 3 3 { displaystyle x_ {3} ^ {3}} wird ausgeführt. Man erhält die Gleichung der Kurve in homogene Koordinaten : x 3 x 2 2 - 1 19659676] = 0 . { displaystyle quad x_ {3} x_ {2} ^ {2} -x_ {1} ^ {3} = 0 ;.} Auswahlzeile x 2 = 0 { displaystyle x _ { color {red} 2} = 0} als Zeile bei unendlich und einführend x = x 1 x 2 y x x x x 2 { displaystyle x = { tfrac {x_ {1}} {x_ {2}}}, ; y = { tfrac {x_ {3}} {x_ {2}}} } ergibt die (affine) Kurve y = x 3 . {Displaystyle y = x ^ {3} ;.} . Isochrone-Kurve [ edit ] Eine weitere definierende Eigenschaft der semikubischen Parabel ist, dass es sich um eine -Isochrone-Kurve handelt, was bedeutet, dass ein Partikel folgt Sein Weg, während er durch die Schwerkraft nach unten gezogen wird, durchläuft gleiche vertikale Intervalle in gleichen Zeiträumen. Auf diese Weise ist es mit der Tautochronenkurve verknüpft, für die Partikel an verschiedenen Startpunkten immer gleich lange brauchen, um den Boden zu erreichen, und mit der Brachistochronkurve. Diese Kurve minimiert die Zeit, die ein fallendes Partikel von seinem Anfang bis zum Transport benötigt sein Ende. Geschichte [ edit ] Die semikubische Parabel wurde 1657 von William Neile entdeckt, der seine Bogenlänge berechnete. Obwohl die Längen einiger anderer nichtalgebraischer Kurven einschließlich der logarithmischen Spirale und des Zykloids bereits berechnet worden waren (dh diese Kurven wurden korrigiert), war die semikubische Parabel die erste algebraische Kurve (mit Ausnahme der Linie und der Linie) zu korrigieren. [1] [ umstritten (für: Es scheint, als seien Parabel und andere konische Abschnitte vor langer Zeit gleichgerichtet worden). - Diskutieren . 19659093] [ edit ] ^ a b Pickover, Clifford A. (2009), "Die Länge von Neiles Semicubical Parabola ", Das mathematische Buch: Von Pythagoras zur 57. Dimension, 250 Meilensteine in der Geschichte der Mathematik Sterling Publishing Company, Inc., p. 148, ISBN 9781402757969 . ^ August Pein: Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten S. 2 August Pein: Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten S.26 ^ August Pein: Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten p. 10 Externe Links [ edit ] No comments: Post a Comment Newer Post Older Post Home Subscribe to: Post Comments (Atom)
Auswahlzeile x 2 = 0 { displaystyle x _ { color {red} 2} = 0} als Zeile bei unendlich und einführend x = x 1 x 2 y x x x x 2 { displaystyle x = { tfrac {x_ {1}} {x_ {2}}}, ; y = { tfrac {x_ {3}} {x_ {2}}} } ergibt die (affine) Kurve y = x 3 . {Displaystyle y = x ^ {3} ;.} .
Eine weitere definierende Eigenschaft der semikubischen Parabel ist, dass es sich um eine -Isochrone-Kurve handelt, was bedeutet, dass ein Partikel folgt Sein Weg, während er durch die Schwerkraft nach unten gezogen wird, durchläuft gleiche vertikale Intervalle in gleichen Zeiträumen. Auf diese Weise ist es mit der Tautochronenkurve verknüpft, für die Partikel an verschiedenen Startpunkten immer gleich lange brauchen, um den Boden zu erreichen, und mit der Brachistochronkurve. Diese Kurve minimiert die Zeit, die ein fallendes Partikel von seinem Anfang bis zum Transport benötigt sein Ende.
Die semikubische Parabel wurde 1657 von William Neile entdeckt, der seine Bogenlänge berechnete. Obwohl die Längen einiger anderer nichtalgebraischer Kurven einschließlich der logarithmischen Spirale und des Zykloids bereits berechnet worden waren (dh diese Kurven wurden korrigiert), war die semikubische Parabel die erste algebraische Kurve (mit Ausnahme der Linie und der Linie) zu korrigieren. [1] [ umstritten (für: Es scheint, als seien Parabel und andere konische Abschnitte vor langer Zeit gleichgerichtet worden). - Diskutieren
