Lochargument - Wikipedia

In der allgemeinen Relativitätstheorie ist das Lochargument ein scheinbares Paradoxon, das Albert Einstein bei der Entwicklung seiner berühmten Feldgleichungen sehr beunruhigte.

Einige Philosophen der Physik gehen davon aus, ein Problem für den mannigfaltigen Substanzismus aufzuwerfen, eine Lehre, wonach die Mannigfaltigkeit der Ereignisse in der Raumzeit eine "Substanz" ist, die unabhängig von dem darauf definierten metrischen Feld oder dem darin definierten metrischen Feld existiert Materie darin. Andere Philosophen und Physiker sind mit dieser Interpretation nicht einverstanden und betrachten das Argument stattdessen als Verwirrung über die Eichung von Invarianz und das Fixieren von Maßstäben. ^{[ Zitat benötigt ]}

Einsteins Lochargument [ edit ]

In einer gewöhnlichen Feldgleichung bestimmt das Wissen um die Quelle des Feldes und die Randbedingungen das Feld überall. Wenn wir beispielsweise die Strom- und Ladungsdichte und geeignete Randbedingungen erhalten, bestimmen die Maxwell-Gleichungen die elektrischen und magnetischen Felder. Sie bestimmen jedoch nicht das Vektorpotential, da das Vektorpotential von einer beliebigen Wahl des Maßes abhängt.

Einstein bemerkte, dass, wenn die Gravitationsgleichungen im Allgemeinen kovariant sind, die Metrik nicht eindeutig durch ihre Quellen als Funktion der Koordinaten der Raumzeit bestimmt werden kann. Das Argument ist offensichtlich: Betrachten Sie eine Gravitationsquelle wie die Sonne. Dann gibt es ein Gravitationsfeld, das durch eine Metrik g (r) beschrieben wird. Führen Sie nun eine Koordinatentransformation r ${ displaystyle to}$ r 'aus, wobei r' für Punkte, die sich innerhalb der Sonne befinden, dasselbe ist wie r ', aber r' anders ist als ' r außerhalb der Sonne. Die Koordinatenbeschreibung des Inneren der Sonne bleibt von der Transformation unberührt, aber die Funktionsform der Metrik g 'für die neuen Koordinatenwerte außerhalb der Sonne wird geändert. Aufgrund der allgemeinen Kovarianz der Feldgleichungen ist diese transformierte Metrik g 'auch eine Lösung im nicht transformierten Koordinatensystem.

Dies bedeutet, dass eine Quelle, die Sonne, die Quelle vieler scheinbar unterschiedlicher Metriken sein kann. Die Auflösung ist unmittelbar: Alle zwei Felder, die sich nur durch eine solche "Loch" -Transformation unterscheiden, sind physikalisch gleichwertig, ebenso wie zwei unterschiedliche Vektorpotentiale, die sich durch eine Maßtransformation unterscheiden, physikalisch gleichwertig sind. Dann sind all diese mathematisch unterschiedlichen Lösungen nicht physikalisch unterscheidbar - sie repräsentieren eine und dieselbe physikalische Lösung der Feldgleichungen.

Es gibt viele Variationen dieses scheinbaren Paradoxons. In einer Version betrachten Sie eine Anfangswertfläche mit einigen Daten und finden die Metrik als Funktion der Zeit. Dann führen Sie eine Koordinatentransformation durch, die Punkte in der Zukunft um die Anfangswertfläche herum bewegt, ohne jedoch die Anfangsfläche oder Punkte im Unendlichen zu beeinflussen. Daraus können Sie schließen, dass die im Allgemeinen kovarianten Feldgleichungen die Zukunft nicht eindeutig bestimmen, da diese neue koordinatentransformierte Metrik eine gleichwertige Lösung der gleichen Feldgleichungen im ursprünglichen Koordinatensystem ist. Daher hat das Anfangswertproblem keine eindeutige Lösung für die allgemeine Relativitätstheorie. Dies gilt auch für die Elektrodynamik - da Sie eine Maßtransformation durchführen können, die sich nur morgen auf das Vektorpotenzial auswirkt. In beiden Fällen ist die Auflösung die Verwendung zusätzlicher Bedingungen, um ein Messgerät zu fixieren.

Streit um die obige Version von Einsteins Lochargument [ edit

Einsteins Ableitung der Gravitationsfeldgleichungen wurde aufgrund des Locharguments, das er 1913 erstellt hatte, verzögert. ^[1] Das Problem war nicht so wie in dem obigen Abschnitt. Zu der Zeit, als Einstein 1912 seinen &quot;Kampf mit der Bedeutung der Koordinaten&quot; nannte, ^[2] wusste er bereits, dass er nach Tensorialgleichungen suchen sollte, da diese von der Koordinatenänderung nicht betroffen sind. Er hatte bereits die Form des Gravitationsfeldes (nämlich als Tetrad oder Rahmenfeld ${\displaystyle {\mathrm{e\; <!--\; \mu \; -->}}_{}^{}}$ oder Metrik ${ displaystyle g _ { mu nu} (x)}$) und die Gleichungen der Bewegung von Materie in einem gegebenen Gravitationsfeld (die sich aus der Maximierung der richtigen Zeit ergeben, die gegeben ist durch $ν {{displaystyle ds ^ {2} = g {{}} nu} (x) dx ^ { mu} dx ^ { nu}}$). ^[3] Es ist offensichtlich, dass dies bei Koordinatentransformationen invariant ist.

Was ihn störte, war eine Folge seines Prinzips der allgemeinen Kovarianz und ergibt sich aus dem Folgenden. ^[4] Die allgemeine Kovarianz besagt, dass die Gesetze der Physik in allen Bezugssystemen und damit in allen Koordinatensystemen und damit in allen Koordinatensystemen die gleiche mathematische Form haben sollten Differentialgleichungen, die die Feldgleichungen des Gravitationsfeldes sind, sollten in allen Koordinatensystemen die gleiche mathematische Form annehmen. Mit anderen Worten, bei zwei Koordinatensystemen sagen wir ${\displaystyle x}$ Koordinaten und ${ displaystyle y}$ Koordinaten, man muss in beiden die gleiche Differentialgleichung lösen, außer in einem der Variablen ${ displaystyle x}$ und im anderen Die unabhängige Variable ist ${ displaystyle y}$. Dies impliziert, dass, sobald man eine Metrikfunktion im ${ displaystyle x}$ -Koordinatensystem findet, das die Feldgleichungen löst, man die ganz einfach aufschreiben kann Dieselbe Funktion, jedoch alle ${ displaystyle x}$ durch ${ displaystyle y}$ s, das die Feldgleichungen im ${ displaystyle y}$ y "/> Koordinatensystem löst. Da diese beiden Lösungen dieselbe Funktionsform haben, aber zu unterschiedlichen Koordinatensystemen gehören, erzwingen sie unterschiedliche Raumzeitgeometrien. Beachten Sie, dass diese zweite Lösung nicht durch eine Koordinatentransformation mit der ersten verbunden ist, aber dennoch eine Lösung ist. Hier ist das Problem, das Einstein so sehr gestört hat: Wenn sich diese Koordinatensysteme nur nach ${ displaystyle t = 0}$ unterscheiden, gibt es dann zwei Lösungen; Sie haben die gleichen Anfangsbedingungen, aber sie haben unterschiedliche Geometrien nach ${ displaystyle t = 0}$. Aufgrund dieser Beobachtung suchte Einstein drei Jahre lang nach nicht allgemein kovarianten Feldgleichungen in einem rasenden Wettlauf gegen Hilbert ^[5]

. Um genauer zu sein, dachte Einstein an eine Situation wo die Verteilung der Materie überall außerhalb eines geschlossenen Bereichs der Raumzeit ohne Materie bekannt ist, das Loch. Dann ermöglichen die Feldgleichungen zusammen mit den Randbedingungen die Bestimmung des metrischen Feldes innerhalb der Bohrung. Man nimmt die Koordinaten ${ displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ y "/> y unterscheiden sich innerhalb des Lochs aber stimmen außerhalb davon überein. Das Argument geht dann weiter wie im obigen Absatz.

Da diese beiden Lösungen dieselbe funktionale Form haben, nehmen sie die gleichen Werte an. Sie nehmen sie einfach an verschiedenen Orten an. Daher wird eine Lösung von der anderen Lösung erhalten, indem die Metrikfunktion aktiv über den Raumzeitverteiler in die neue Konfiguration gezogen wird. Dies ist als Diffeomorphismus bekannt, der von Physikern manchmal als aktiver Diffeomorphismus bezeichnet wird, um ihn von Koordinatentransformationen (passiven Diffeomorphismen) zu unterscheiden. Einstein konnte nicht allgemein kovariante Feldgleichungen nur finden, um zum Bohrungsargument zurückzukehren und es aufzulösen. Es ging im Wesentlichen darum zu akzeptieren, dass diese beiden Lösungen physikalisch gleichwertig sind, indem sie behaupten, dass die Lokalisierung der Metrik über die Raumzeit-Mannigfaltigkeit physikalisch irrelevant ist und dass einzelne Raumzeitpunkte, die als Raumzeitkoordinaten definiert sind, keine physikalische Bedeutung an sich haben (dies ist die Quelle des Problems für einen mannigfaltigen Substanzismus). Einstein verdeutlichte die in den obigen Abschnitten angegebene Situation, indem er zwei Teilchen einführte. dann können physische Punkte (innerhalb des Lochs) anhand ihrer zusammenfallenden Weltlinien definiert werden. Dies funktioniert, weil Materie unter aktiven Diffeomorphismen zusammen mit der Metrik gezogen wird. Ohne die Einführung dieser Teilchen wäre es nicht möglich, physikalische Raumzeitpunkte (innerhalb des Lochs) zu definieren. Siehe die Zitate von Einstein, die unten im Abschnitt &quot;Einsteins Entschließung&quot; aufgeführt sind.

Bedeutung der Koordinateninvarianz [ edit ]

Für philosophisch Interessierte gibt es noch etwas Subtilität. Wenn die Metrikkomponenten als dynamische Variablen der Allgemeinen Relativitätstheorie betrachtet werden, hat die Bedingung, dass die Gleichungen eine Koordinateninvariante sind, selbst keinen Inhalt. Alle physikalischen Theorien sind bei Koordinatentransformationen unveränderlich, wenn sie richtig formuliert werden. Es ist möglich, die Maxwell-Gleichungen in jedem Koordinatensystem aufzuschreiben und die Zukunft auf dieselbe Weise vorherzusagen.

Um jedoch den Elektromagnetismus in einem beliebigen Koordinatensystem zu formulieren, muss eine Beschreibung der Raum-Zeit-Geometrie eingeführt werden, die nicht an ein spezielles Koordinatensystem gebunden ist. Diese Beschreibung ist an jedem Punkt ein metrischer Tensor oder eine Verbindung, die definiert, welche Vektoren in der Nähe parallel sind. Das eingeführte mathematische Objekt, die Minkowski-Metrik, ändert die Form von einem Koordinatensystem in ein anderes, aber es ist nicht Teil der Dynamik, es gehorcht nicht Bewegungsgleichungen. Egal was mit dem elektromagnetischen Feld passiert, es ist immer dasselbe. Es wirkt, ohne darauf reagiert zu werden.

In der Allgemeinen Relativitätstheorie ist jede einzelne lokale Größe, die zur Beschreibung der Geometrie verwendet wird, selbst ein lokales dynamisches Feld mit einer eigenen Bewegungsgleichung. Dies führt zu strengen Einschränkungen, da die Bewegungsgleichung vernünftig sein muss. Es muss die Zukunft aus Anfangsbedingungen bestimmen, es darf keine Instabilitäten für kleine Störungen haben, es muss eine positive definierte Energie für kleine Abweichungen definieren. Wenn man davon ausgeht, dass die Koordinateninvarianz trivial wahr ist, besagt das Prinzip der Koordinateninvarianz lediglich, dass die Metrik selbst dynamisch ist und ihre Bewegungsgleichung keine feste Hintergrundgeometrie beinhaltet.

Einsteins Entschließung [ edit ]

Im Jahr 1915 erkannte Einstein, dass das Lochargument eine Annahme über die Natur der Raumzeit macht: Es geht davon aus, dass über den Wert von gesprochen werden soll das Gravitationsfeld (bis zu bloßen Koordinatentransformationen) an einem durch eine Spacetime-Koordinate definierten Raumzeitpunkt - genauer gesagt, setzt es voraus, dass über physikalische Eigenschaften des Gravitationsfeldes gesprochen wird, beispielsweise wenn es flach oder gekrümmt ist (dies ist der Fall) ist eine koordinatenunabhängige Eigenschaft des Gravitationsfeldes) an einem Raumzeitpunkt. Durch die Aufhebung dieser Annahme wurde die allgemeine Kovarianz mit dem Determinismus vereinbar. Während zwei Gravitationsfelder, die sich durch einen aktiven Diffeomorphismus unterscheiden, geometrisch unterschiedlich aussehen, definieren die Wechselwirkungen aller Teilchen nach der Neuberechnung der Teilchen offensichtlich physikalische Orte, an denen das Gravitationsfeld unter allen aktiven Diffeomorphismen den gleichen Wert annimmt. [19659122] (Beachten Sie, dass bei einer bloßen Koordinatentransformation der beiden Metriken die Weltlinien der Partikel nicht transponiert würden, da beide Metriken dieselbe Raumzeitgeometrie erfordern und die Weltlinien geometrisch als Trajektorien von definiert sind maximale Eigenzeit - nur bei einem aktiven Diffeomorphismus werden die Geometrie und die Flugbahnen geändert.) Dies war die erste klare Aussage über das Prinzip der Eichinvarianz im physikalischen Gesetz.

Einstein glaubte, dass das Lochargument impliziert, dass die einzig sinnvolle Definition von Ort und Zeit durch Materie ist. Ein Punkt in der Raumzeit ist an sich bedeutungslos, weil das Etikett, das man einem solchen Punkt gibt, unbestimmt ist. Raumzeitpunkte erhalten ihre physikalische Bedeutung nur, weil Materie sich durch sie hindurch bewegt. In seinen Worten:

&quot;Alle unsere Raum-Zeit-Überprüfungen stellen ausnahmslos eine Bestimmung von Raum-Zeit-Koinzidenzen dar. Wenn zum Beispiel Ereignisse nur aus der Bewegung materieller Punkte bestanden, wäre letztlich nichts anderes als das Zusammentreffen von zwei oder mehr davon zu beobachten diese Punkte. &quot;^[7]

Er hielt dies für die tiefste Einsicht in die allgemeine Relativitätstheorie. Nach dieser Einsicht erschöpft sich der physikalische Inhalt jeder Theorie durch den Katalog der von ihr lizenzierten Raumzeitkoinzidenzen. John Stachel nannte dieses Prinzip das Punkt-Zufall-Argument . ^[1]

Im Allgemeinen ist das Invariante unter aktiven Diffeomorphismen und daher das Maß der Invariante das Übereinstimmungsergebnis Gravitationsfeld und der Wert, den das Materiefeld an demselben &quot;Ort&quot; hat, weil das Gravitationsfeld und das Materiefeld unter einem aktiven Diffeomorphismus miteinander verschleppt werden. Aus diesen Zufällen kann man einen Begriff von Materie bilden, der in Bezug auf das Gravitationsfeld lokalisiert wird. Wie Carlo Rovelli sagt: &quot;Keine Felder mehr in der Raumzeit: Nur Felder auf Feldern.&quot; ^[4] Dies ist die wahre Bedeutung ^{[ Klarstellung ]} des Sprichworts &quot;Die Bühne verschwindet.&quot; und wird einer der Schauspieler &quot;; Die Raumzeit als &quot;Container&quot;, über den die Physik stattfindet, hat keine objektive physikalische Bedeutung. Stattdessen wird die Wechselwirkung der Schwerkraft als eines der Weltfelder dargestellt.

Einstein nannte seine Entschließung &quot;über meine wildesten Erwartungen hinaus&quot;.

Implikationen der Hintergrundunabhängigkeit für einige Theorien der Quantengravitation [ edit ]

Die Schleifenquantengravitation ist eine Annäherung an die Quantengravitation, die versucht, die grundlegenden Prinzipien der klassischen GR mit dem Minimal zu vereinen wesentliche Merkmale der Quantenmechanik und ohne neue Hypothesen zu fordern. Physiker der Loop-Quantengravitation betrachten die Hintergrundunabhängigkeit als zentralen Grundsatz in ihrem Ansatz zur Quantisierung der Schwerkraft - eine klassische Symmetrie, die von der Quantentheorie bewahrt werden muss, wenn wir die Geometrie (= Schwerkraft) wirklich quantisieren wollen. Eine unmittelbare Konsequenz ist, dass LQG UV-endlich ist, da kleine und große Entfernungen Maßeinheiten sind, da eine metrische Funktion für eine andere, die sich auf die erste bezieht, durch einen aktiven Diffeomorphismus ersetzt werden kann. Ein genaueres Argument kann gegeben werden. ^[8] Der direkte Beweis der Endlichkeit kanonischer LQG in Gegenwart aller Materieformen wurde von Thiemann erbracht. ^[9] Es wurde jedoch vorgeschlagen ^{[wer ]} dass die Schleifenquantengravitation die Hintergrundunabhängigkeit verletzt, indem ein bevorzugter Bezugsrahmen (&#39;Spin Foams&#39;) eingeführt wird Die Theorie (neben einer Reihe von nicht-störenden Formulierungen) ist nicht &quot;offensichtlich&quot; unabhängig vom Hintergrund, da sie von den Randbedingungen im Unendlichen abhängt, ähnlich wie die störende allgemeine Relativitätstheorie nicht &quot;offensichtlich&quot; vom Hintergrund abhängt. Einige Bereiche der Stringtheorie lassen jedoch Formulierungen zu, in denen der Hintergrund unabhängig ist, darunter insbesondere das AdS / CFT. Es wird angenommen, dass die Stringtheorie im Allgemeinen unabhängig vom Hintergrund ist, auch wenn viele nützliche Formulierungen dies nicht manifestieren. ^[10] Für eine gegenteilige Ansicht siehe Smolin. ^[11]

Siehe auch [ edit

Referenzen [ edit ]

1. ^ ^{a b} b. Norton, John D., &quot;The Hole Argument.&quot; &quot;, Die Stanford-Enzyklopädie der Philosophie Edward N. Zalta (Hrsg.).
2. ^ Carlo Rovelli, Quantum Gravity Cambridge University Press, 2007, pp. 65–66.
3. ^ Siehe Seiten 65–66 von Rovellis Buch Quantum Gravity . 19659149] Siehe Rovellis Buch Quantum Gravity .
4. ^ Siehe Seite 68 des Rovelli-Buches Quantum Gravity .
5. ^ Siehe Diagramm auf Seite 69 von Rovelli&#39;s Buch, Quantum Gravity [194590] 07].
6. ^ Einstein, 1916, p. 117 (wie in Rovellis Buch Quantum Gravity Seite 70 zitiert.)
7. ^ Siehe Seite 21 von Lee Smolin, Neueste Entwicklungen in der nicht-störenden Quantengravitation hep -th / 9202022
8. ^ Thomas Thiemann, Moderne kanonische Quanten-Relativitätstheorie Cambridge University Press
9. ^ Joe Polchinski über die String-Debatten: &quot;In Stringtheorie hat es immer gedrungen Es war klar, dass die Physik unabhängig vom Hintergrund ist, auch wenn die Sprache nicht verwendet wird, und die Suche nach einer geeigneteren Sprache wird fortgesetzt. &quot;
10. ^ Lee Smolin, Der Fall für die Unabhängigkeit des Hintergrunds , hep-th / 0507235

Quellen [ edit

• Albert Einstein, HA Lorentz, H. Weyl und H. Minkowski, Das Prinzip der Relativität (1952): Einstein, Albert (1916) &quot;Die Grundlage der Allgemeinen Relativitätstheorie&quot;, S. 111-164.
• Carlo Rovelli, Qu Antum Gravity veröffentlicht von Cambridge University Press (2004) ISBN 0-521-83733-2. Eine vorläufige Version kann kostenlos heruntergeladen werden unter http://www.cpt.univ-mrs.fr/~rovelli/book.pdf.
• Norton, John, The Hole Argument, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Ausgabe Frühjahr 2004) ), Edward N. Zalta (Hrsg.)
• d&#39;Inverno, Ray (1992). Einsteins Relativitätstheorie . Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-859686-3. Siehe Abschnitt 13.6 .
• Physics meets Philosophy auf der Planck-Skala (Cambridge University Press). Joy Christian, 19659175. Warum das Quantum der Schwerkraft nachgeben muss E-Print als gr-qc / 9810078 erhältlich. Erscheint in Physik trifft Philosophie auf der Planck-Skala (Cambridge University Press).
• Carlo Rovelli und Marcus Gaul, Schleifen-Quantengravitation und die Bedeutung der Diffeomorphismus-Invarianz e-Print verfügbar als gr-qc / 9910079.
• Robert Rynasiewicz: Die Lehren aus diesem ganzen Loch Brit.J.Phil.Sci. vol. 45, nein. 2 (1994), S. 407–437.
• Alan Macdonald, Einsteins Lochargument American Journal of Physics (Februar 2001), Band 69, Ausgabe 2, S. 223–225.

External links [ edit ]