Quaternionischer Projektionsraum - Wikipedia

In der Mathematik ist der quaternionische Projektionsraum eine Erweiterung der Ideen des realen Projektionsraums und des komplexen Projektionsraums auf den Fall, wo Koordinaten im Ring von Quaternionen liegen ${\displaystyle \mathbb{H}.\; 19659004]\; \{\; displaystyle\; mathbb\; \{H\}.\}}$ Der quaternionische Projektionsraum der Dimension n wird normalerweise mit bezeichnet

${\displaystyle {\mathbb{H}\mathbb{P}}^n}$

und ist ein ] geschlossener Krümmer der (echten) Dimension 4 n . Es ist in mehr als einer Hinsicht ein homogener Raum für eine Lie-Gruppenaktion. Die quaternionische Projektionslinie ${ displaystyle mathbb {HP} ^ {1}}$ ] ist für die 4-Sphäre homöomorph.

In Koordinaten [ edit ]

Seine direkte Konstruktion ist ein Spezialfall des projizierten Raums über einer Divisionsalgebra. Die homogenen Koordinaten eines Punktes können geschrieben werden

${ displaystyle [q_{0},q_{1},ldots ,q_{n}]}$

wo der ${19659038] {19659038] {19659038] i}}$ sind Quaternionen, nicht alle Null. Zwei Koordinatensätze stellen denselben Punkt dar, wenn sie durch eine linke Multiplikation mit einer Nicht-Null-Quaternion 'proportional' sind c ; das heißt, wir identifizieren alle

${ displaystyle mathbb {H} ^ { times}}$