In der Mathematik ist ein globales Feld ein Feld, das entweder
Eine axiomatische Charakterisierung dieser Felder durch Bewertungstheorie wurde von Emil Artin und George Whaples in den 1940er Jahren gegeben. [1]
Formale Definitionen [
A A A ist einer der folgenden:
- Ein algebraisches Zahlenfeld
Ein algebraisches Zahlenfeld F ist eine endliche (und daher algebraische) Felderweiterung des Feldes der rationalen Zahlen Q . Somit ist F ein Feld, das Q enthält und endliche Dimension hat, wenn es als ein Vektorraum über Q betrachtet wird.
- Das Funktionsfeld einer algebraischen Kurve über einem endlichen Feld
Ein Funktionsfeld einer Sorte ist die Menge aller rationalen Funktionen dieser Sorte. Auf einer algebraischen Kurve (dh einer eindimensionalen Varietät V ) über einem endlichen Feld sagen wir, dass eine rationale Funktion auf einer offenen affinen Teilmenge U als das Verhältnis zweier Polynome definiert wird im affinen Koordinatenring von U und dass eine rationale Funktion in V aus solchen lokalen Daten besteht, die sich auf die Schnittpunkte von offenen Affinen einigen. Dies definiert technisch die rationalen Funktionen auf V als Feld von Brüchen des affinen Koordinatenrings einer offenen affinen Teilmenge, da alle diese Teilmengen dicht sind.
Analogien zwischen den beiden Feldklassen [ edit ]
Es gibt eine Reihe formaler Ähnlichkeiten zwischen den beiden Feldarten. Ein Feld eines der beiden Typen hat die Eigenschaft, dass alle seine Fertigstellungen lokal kompakte Felder sind (siehe lokale Felder). Jedes Feld jedes Typs kann als das Feld von Brüchen einer Dedekind-Domäne realisiert werden, in der jedes Nicht-Null-Ideal einen endlichen Index aufweist. In jedem Fall hat man die Produktformel für Nicht-Null-Elemente x :
Die Analogie zwischen den beiden Arten von Feldern wurde hergestellt eine starke motivierende Kraft in der algebraischen Zahlentheorie . Die Idee einer Analogie zwischen Zahlenfeldern und Riemannschen Flächen geht auf Richard Dedekind und Heinrich M. Weber im 19. Jahrhundert zurück. Die strengere Analogie, die durch die Idee eines "globalen Feldes" ausgedrückt wird, bei der der Aspekt einer Riemannschen Oberfläche als algebraische Kurve auf über einem endlichen Feld definierten Kurven abgebildet wird, wurde in den 1930er Jahren aufgebaut und gipfelte in der Riemann-Hypothese für Kurven über endlichen Feldern von André Weil im Jahr 1940. Die Terminologie könnte von Weil stammen, der seine Basic Number Theory (1967) schrieb, um den Parallelismus teilweise zu erarbeiten.
Normalerweise ist es einfacher, im Funktionsfeldfall zu arbeiten und dann auf der Zahlenfeldseite parallele Techniken zu entwickeln. Die Entwicklung der Arakelov-Theorie und ihre Nutzung durch Gerd Faltings in seinem Beweis der Mordell-Vermutung ist ein dramatisches Beispiel. Die Analogie hatte auch Einfluss auf die Entwicklung der Iwasawa-Theorie und der Hauptvermutung. Der Beweis für das grundlegende Lemma im Langlands-Programm verwendete auch Techniken, die den Zahlenfeldfall auf den Funktionsfeldfall reduzierten.
Theoreme [ edit ]
Hasse-Minkowski-Theorem [ edit
Das Hasse-Minkowski-Theorem ist ein grundlegendes Ergebnis der Zahlentheorie Die besagt, dass zwei quadratische Formen über ein globales Feld genau dann äquivalent sind, wenn sie an allen Stellen lokal sind, dh bei jeder Feldvollendung gleichwertig.
Artin-Reziprozitätsgesetz [ edit ]
Das Artin-Reziprozitätsgesetz impliziert eine Beschreibung der Abelisierung der absoluten Galois-Gruppe eines globalen Feldes K die darauf basiert das lokale-globale Prinzip von Hasse. Es kann in Bezug auf Kohomologie wie folgt beschrieben werden:
L v [1945 K v sei eine Galois-Erweiterung lokaler Felder mit der Galois-Gruppe G . Das lokale Gegenseitigkeitsgesetz beschreibt einen kanonischen Isomorphismus
genannt lokales Artin-Symbol , die lokale Reziprozitätskarte oder das Normrückstandssymbol [1945968] [3]
Let ] L ⁄ K ist eine Galois-Erweiterung globaler Felder und C L steht für die Klassenklasse der Idèle L . Die Karten θ v für verschiedene Orte v von K können durch Multiplizieren der lokalen Karte zu einer einzigen globalen Symbolkarte zusammengefügt werden Komponenten einer Idéle-Klasse. Eine der Aussagen des Artin-Reziprozitätsgesetzes lautet, dass dies zu dem kanonischen Isomorphismus führt [4][5]
Referenzen [ edit
- Artin, Emil; Whaples, George (1945), "Axiomatische Charakterisierung von Feldern durch die Produktformel für Bewertungen", Amer. Mathematik. Soc. 51 : 469–492, doi: 10.1090 / S0002-9904-1945-08383-9, MR 0013145
- Artin, Emil; Whaples, George (1946), "Eine Anmerkung zur axiomatischen Charakterisierung von Feldern", Amer. Mathematik. Soc. 52 : 245–247, doi: 10.1090 / S0002-9904-1946-08549-3, MR 0015382
- J.W.S. Kassetten, "Globale Felder", in J.W.S. Cassels und A. Frohlich (Hrsg.), Algebraische Zahlentheorie Academic Press, 1973. Kap.II, S. 45–84.
- J.W.S. Cassels, "Local fields", Cambridge University Press, 1986, ISBN 0-521-31525-5. S. 56.
- Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2008), Kohomologie der Zahlenfelder Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 323 (2. Aufl.), Berlin: Springer-Verlag, doi: 10.1007 / 978-3-540-37889-1, ISBN 978-3-540-37888-4, MR 2392026, Zbl 1136.11001
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