Desargues-Theorem - Wikipedia

Perspektivendreiecke. Entsprechende Seiten der Dreiecke treffen, wenn sie verlängert werden, an Punkten auf einer Linie, die als Achse der Perspektivität bezeichnet wird. Die Linien, die durch entsprechende Scheitelpunkte auf den Dreiecken verlaufen, treffen sich an einem Punkt, der als Perspektivitätszentrum bezeichnet wird. Der Satz von Desargues besagt, dass die Wahrheit der ersten Bedingung für die Wahrheit der zweiten Bedingung notwendig und ausreichend ist.

In projizierender Geometrie stellt der Satz von Desargues benannt nach Girard Desargues, fest:

Zwei Dreiecke sind in Perspektive axial wenn und nur dann, wenn sie in Perspektive sind zentral .

Bezeichnen die drei Eckpunkte eines Dreiecks mit a . b und c und diejenigen der anderen von A B und C . Axiale Perspektivität bedeutet, dass sich Linien ab und AB in einem Punkt treffen, Linien ac und AC treffen sich in einem zweiten Punkt, und Linien v. Chr. und v. Chr. treffen sich in einem dritten Punkt, und diese drei Punkte liegen alle auf einer gemeinsamen Linie Achse der Perspektivität . Unter zentraler Perspektivität versteht man, dass die drei Linien Aa Bb und Cc gleichzeitig sind, und zwar an einem Punkt, der als Zentrum der Perspektivität bezeichnet wird .

Dieser Kreuzungssatz gilt für die übliche euklidische Ebene, in Ausnahmefällen muss jedoch besondere Sorgfalt angewandt werden, etwa wenn ein Paar von Seiten parallel ist, so dass der "Schnittpunkt" ins Unendliche zurückgeht. Um diese Ausnahmen zu beseitigen, "vervollständigen" Mathematiker normalerweise die euklidische Ebene durch "Hinzufügen" von Punkten im Unendlichen nach Jean-Victor Poncelet. Dies führt zu einer projektiven Ebene.

Der Satz von Desargues gilt für die reale Projektionsebene, für jeden projektiven Raum, der arithmetisch aus einem Feld oder Teilungsring definiert wird, für jeden projektiven Raum mit ungleichen Dimensionen und für jeden projektiven Raum, in dem Pappus 'Theorem sich befindet. Es gibt jedoch einige nicht-Desarguesian-Ebenen, in denen der Satz von Desargues falsch ist.

History [ edit ]

Desargues veröffentlichte diesen Satz nie, er erschien jedoch in einem Anhang mit dem Titel Universelle Methode von M. Desargues zur Verwendung der Perspektive (Maniére universelle de M. Desargues pour praktique la perspective) eines von seinem Freund und Schüler Abraham Bosse (1602–1676) im Jahre 1648 ^[1] veröffentlichten praktischen Buch über die Verwendung von Perspektiven. ^[2]

Projektive versus affine Räume edit ]

In einem affinen Raum wie der euklidischen Ebene trifft eine ähnliche Aussage zu, jedoch nur, wenn verschiedene Ausnahmen mit parallelen Linien aufgeführt werden. Das Desargues-Theorem ist daher eines der einfachsten geometrischen Theoreme, dessen natürlicher Wohnsitz eher im projektive als im affinen Raum liegt.

Self-Duality [ edit ]

Definitionsgemäß sind zwei Dreiecke nur dann perspektivisch, wenn sie zentral (oder entsprechend diesem Satz äquivalent) axial perspektivisch sind. . Beachten Sie, dass perspektivische Dreiecke nicht ähnlich sein müssen.

Unter der Standard-Dualität der ebenen Projektionsgeometrie (Punkte entsprechen Linien und Kollinearität von Punkten entspricht Parallelität von Linien), ist die Aussage von Desargues Theorem selbst-dual: ^[3] Axiale Perspektive wird in zentrale Perspektive und Laster übersetzt umgekehrt. Die Desargues-Konfiguration (unten) ist eine selbst-duale Konfiguration. ^[4]

Beweis des Satzes von Desargues [ edit ]

Der Satz von Desargues gilt für projek- tive Räume über beliebige Feld- oder Divisionsringe , und gilt auch für abstrakte projek- tive Räume der Dimension mindestens 3. In Dimension 2 werden die Ebenen, für die sie gelten, als Desarguesian-Ebenen bezeichnet und sind die gleichen wie die Ebenen, die über einen Teilungsring Koordinaten erhalten können. Es gibt auch viele nicht-desarguesianische Flugzeuge, auf denen der Satz von Desargues nicht gilt.

Dreidimensionaler Beweis [ edit ]

Der Satz von Desargues gilt für jeden projektiven Raum mit einer Dimension von mindestens 3 und allgemein für jeden projektiven Raum, der in einen Raum eingebettet werden kann mindestens 3.

Der Satz von Desargues kann wie folgt angegeben werden:

Wenn Zeilen Aa Bb und Cc gleichzeitig sind, dann

die Punkte [treffen]

. 19659013] AB 19 ab AC 19 ac und BC bc

sind kollinear.

Die Punkte A B a und b sind in der gleichen Ebene. wegen der angenommenen Parallelität von Aa und Bb . Daher gehören die Linien AB und ab zu derselben Ebene und müssen sich schneiden. Liegen die beiden Dreiecke auf unterschiedlichen Ebenen, so gehört der Punkt AB 19 ab zu beiden Ebenen. Durch ein symmetrisches Argument existieren die Punkte AC ∩ ac und v. Chr. 65 v. Chr. [19456501] Flächen beider Dreiecke. Da sich diese beiden Ebenen in mehr als einem Punkt schneiden, ist der Schnittpunkt eine Linie, die alle drei Punkte enthält.

Dies beweist den Satz von Desargues, wenn die beiden Dreiecke nicht in derselben Ebene liegen. Wenn sie sich in derselben Ebene befinden, kann der Satz von Desargues bewiesen werden, indem ein Punkt ausgewählt wird, der sich nicht in der Ebene befindet, und die Dreiecke damit aus der Ebene gehoben werden, so dass das obige Argument funktioniert, und dann in die Ebene zurückspringen. Der letzte Schritt des Proofs schlägt fehl, wenn der Projektionsraum eine Dimension von weniger als 3 hat, da in diesem Fall möglicherweise kein Punkt außerhalb der Ebene gefunden werden kann.

Monges Theorem behauptet auch, dass drei Punkte auf einer Linie liegen, und hat einen Beweis, der dieselbe Idee zugrunde legt, sie in drei statt in zwei Dimensionen zu betrachten und die Linie als Schnittpunkt zweier Ebenen zu schreiben.

Zweidimensionaler Beweis [ edit ]

Da es nicht-desarguesianische Projektionsebenen gibt, in denen der Satz von Desargues nicht zutrifft, müssen einige zusätzliche Bedingungen erfüllt werden. ^[5] um es zu beweisen. Diese Bedingungen nehmen normalerweise die Form an, dass ausreichend viele Kollineationen eines bestimmten Typs vorhanden sind, was wiederum dazu führt, dass das zugrunde liegende algebraische Koordinatensystem ein Teilungsring (Skewfield) sein muss. ^[6]

Beziehung zu Pappus 'Theorem edit ]

Pappus 'Sechsecksatz besagt, dass bei einem Sechseck AbCaBc so gezeichnet wird, dass die Eckpunkte a b sind ] und c liegen auf einer Linie und Eckpunkte A B und C liegen auf einer zweiten Linie, dann jeweils zwei gegenüberliegende Seiten Das Sechseck liegt auf zwei Linien, die sich in einem Punkt treffen, und die drei so konstruierten Punkte sind kollinear. Eine Ebene, in der der Satz von Pappus allgemein gültig ist, heißt Pappian . Hessenberg (1905) ^[7] zeigte, dass der Satz von Desargues aus drei Anwendungen von Pappus 'Satz abgeleitet werden kann. ^[8]

Das Gegenteil dieses Ergebnisses ist nicht wahr, das heißt, nicht alle desarguesianischen Ebenen sind Pappian Die allgemeine Befriedigung des Satzes von Pappus ist gleichbedeutend damit, dass das zugrunde liegende Koordinatensystem kommutativ ist. Eine über einem nichtkommutativen Teilungsring definierte Ebene (ein Teilungsring, der kein Feld ist) wäre daher Desarguesian, nicht aber Pappian. Aufgrund des kleinen Satzes von Wedderburn, der besagt, dass alle endlichen Teilungsringe Felder sind, sind alle endlich desarguesianischen Flugzeuge pappisch. Es gibt keinen vollständig geometrischen Beweis für diese Tatsache, obwohl Bamberg & Penttila (2015) einen Beweis liefern, der nur "elementare" algebraische Fakten verwendet (und nicht die volle Stärke von Wedderburns kleinem Theorem).

Die Desargues-Konfiguration [ edit ]

Die Desargues-Konfiguration wird als Paar von ineinander geschriebenen Fünfecken betrachtet: Jeder Pentagonscheitelpunkt liegt auf der Linie durch eine der Seiten des anderen Pentagon.

Die zehn an Desargues 'Theorem beteiligten Zeilen (sechs Seiten von Dreiecken, die drei Linien Aa 19659027] Bb und Cc [19456501] und die Perspektivitätsachse) und die zehn betroffenen Punkte (die sechs Eckpunkte, die drei Schnittpunkte auf der Perspektivitätsachse und das Zentrum der Perspektiven) sind so angeordnet, dass jede der zehn Linien drei der zehn Punkte durchläuft, und Jeder der zehn Punkte liegt auf drei der zehn Linien. Diese zehn Punkte und zehn Linien bilden die Desargues-Konfiguration, ein Beispiel für eine projektive Konfiguration. Obwohl der Satz von Desargues verschiedene Rollen für diese zehn Linien und Punkte auswählt, ist die Desargues-Konfiguration selbst symmetrischer: Jeder der zehn Punkte kann als Mittelpunkt der Perspektivität gewählt werden, und diese Wahl bestimmt, welche sechs Punkte gewählt werden sind die Scheitelpunkte der Dreiecke und welche Linie wird die Achse der Perspektivität sein.

Siehe auch [ edit ]

1. ^ Smith (1959, S. 307)
2. Katz (1998, S. 461)
3. ^ Dies liegt an der modernen Schreibweise des Satzes. Historisch lautete der Satz nur: "In einem projizierten Raum ist ein Paar von zentral perspektivischen Dreiecken eine axiale Perspektive", und das Doppel dieser Aussage wurde das Gegenteil von Desargues 'Theorem genannt und wurde immer mit diesem Namen bezeichnet. Siehe (Coxeter 1964, S. 19)
4. ^ (Coxeter 1964) S. 26-27.
5. ^ Die kleinsten Beispiele davon finden sich in Room & Kirkpatrick 1971.
6. ^ (Albert & Sandler 1968), (Hughes & Piper 1973) und (Stevenson 1972).
7. ^ Nach (Dembowski 1968, S. 159, Fußnote 1) ist Hessenbergs Originalbeweis nicht Komplett; Er ignorierte die Möglichkeit, dass in der Desargues-Konfiguration einige zusätzliche Vorkommnisse auftreten könnten. Einen vollständigen Beweis liefert Cronheim 1953.
8. ^ Coxeter 1969, p. 238, Abschnitt 14.3

Referenzen [ edit ]

• Albert, A. Adrian; Sandler, Reuben (1968), Eine Einführung in die endlichen projektiven Ebenen New York: Holt, Rinehart und Winston
• Bamberg, John; Penttila, Tim (2015), "Abschluss des Segre-Beweises von Wedderburns kleinem Theorem", Bulletin der London Mathematical Society 47 : 483–492, doi: 10.1112 / bdv021 [19659150] Casse, Rey (2006), Projektive Geometrie: Eine Einführung Oxford: Oxford University Press, ISBN 0-19-929886-6
• Coxeter, HSM (1964), Projective Geometry New York: Blaisdell
• Coxeter, Harold Scott MacDonald (1969), Einführung in die Geometrie (2. Aufl.), New York: John Wiley & amp; Sons, ISBN 978-0-471-50458-0, MR 0123930
• Cronheim, A. (1953), "Ein Beweis für Hessenbergs Theorem", Verfahren der American Mathematical Society 4 : 219–221, doi: 10.2307 / 2031794
• Dembowski, Peter (1968), Finite Geometries Berlin: Springer Verlag
• Hessenberg, Gerhard (1905), Beweis des Desarguesschen Satzes aus dem Pascalschen ", Mathematische Annalen Berlin / Heidelberg: Springer, 61 (2): 161–172, doi: 10.1007 / BF01457558, ISSN 1432-1807
• Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometrie und die Imagination (2. Ausg.), Chelsea, S. 119–128, ISBN 0-8284-1087-9 CS1 maint: Mehrere Namen: Autorenliste (Link)
• Hughes, Dan; Piper, Fred (1973), Projektive Ebenen Springer-Verlag, ISBN 0-387-90044-6
• Kárteszi, F. (1976), Einführung in die endlichen Geometrien Amsterdam: Nordholland, ISBN 0-7204-2832-7
• Katz, Victor J. (1998), Eine Geschichte der Mathematik: Eine Einführung (2. Aufl.), Reading, Mass .: Addison Wesley Longman, ISBN 0-321-01618-1
• Raum, TG; Kirkpatrick, PB (1971), Miniquaternion Geometry Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-07926-8
• Smith, David Eugene (1959), Ein Quellenbuch in Mathematik New York: Dover, ISBN 0-486-64690-4
• Stevenson, Frederick W. (1972), Projektive Ebenen San Francisco: WH Freeman and Company, ISBN 0-7167-0443-9
• Voitsekhovskii, M.I. (2001) [1994]"Desargues Annahme", in Hazewinkel, Michiel, Enzyklopädie der Mathematik Springer Science + Business Media BV / Verlag Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 [19659165] Externe Links [ edit ]