Der Satz von Sylvester-Gallai in der Geometrie besagt, dass entweder eine endliche Anzahl von Punkten in der euklidischen Ebene gegeben ist
Benannt wurde es nach James Joseph Sylvester, der es 1893 als Problem darstellte, und Tibor Gallai, der 1944 einen der ersten Beweise dieses Theorems veröffentlichte.
Eine Linie, die genau zwei Punkte enthält, wird als gewöhnliche Linie bezeichnet. Gemäß einer Verstärkung des Satzes hat jede endliche Punktmenge (nicht alle auf einer Linie) mindestens eine lineare Anzahl gewöhnlicher Linien. Es gibt einen Algorithmus, der eine gewöhnliche Linie in einem Satz von n Zeitpunkten findet, die proportional zu n log n im schlimmsten Fall sind. [1]
History [1] 19659006] [ edit ]
Das Theorem von Sylvester-Gallai wurde von JJ Sylvester (1893) als Problem gestellt. Kelly (1986) schlägt vor, dass Sylvester möglicherweise durch ein verwandtes Phänomen in der algebraischen Geometrie motiviert wurde, bei dem die Wendepunkte einer kubischen Kurve in der komplexen Projektionsebene eine Konfiguration aus neun Punkten und zwölf Linien (der Hesse-Konfiguration) bilden, in denen sich jeder befindet Linie, die durch zwei der Punkte bestimmt wird, enthält einen dritten Punkt. Der Satz von Sylvester-Gallai impliziert, dass es unmöglich ist, für alle neun dieser Punkte echte Koordinaten zu haben.
Woodall (1893) behauptete, einen kurzen Beweis des Satzes von Sylvester-Gallai zu haben, der jedoch bereits als unvollständig bezeichnet wurde der Zeitpunkt der Veröffentlichung. Eberhard Melchior (1941) bewies den Satz (und tatsächlich ein etwas stärkeres Ergebnis) in einer äquivalenten Formulierung, seinem projektiven Dual. Paul Erdős (1943) wußte nichts von Melchior's Beweis und nannte erneut die Vermutung, die zuerst von Tibor Gallai und bald darauf von anderen Autoren bewiesen wurde. [4]
Projektive und duale Versionen [ edit ] 19659007] Die Frage nach der Existenz einer normalen Linie kann auch für Punkte in der realen Projektionsebene RP 2 anstelle der Euklidischen Ebene gestellt werden. Die euklidische Ebene kann als eine Teilmenge der Projektionsebene betrachtet werden, aber die zusätzlichen Punkte und Linien der Projektionsebene ändern das Problem nicht, da jeder endliche Satz von Projektionspunkten in einen euklidischen Punktsatz umgewandelt werden kann, ohne dessen Satz von zu ändern gewöhnliche Linien. Daher gibt es auch in der anderen Ebene jedes Muster von Schnittpunkten und Linien, das in einer dieser beiden Ebenentypen vorhanden ist. Der projek- tive Gesichtspunkt erlaubt es jedoch, bestimmte Konfigurationen einfacher zu beschreiben. Durch die projektive Dualität entspricht das Vorhandensein einer gewöhnlichen Linie für eine Menge nicht kollinearer Punkte in RP 2 dem Vorhandensein eines gewöhnlichen Punktes in einer nicht-trivialen Anordnung von endlich vielen Linien . Eine Anordnung wird als trivial bezeichnet, wenn alle ihre Linien einen gemeinsamen Punkt durchlaufen, und ansonsten nicht trivial; Ein gewöhnlicher Punkt ist ein Punkt, der zu genau zwei Linien gehört. Eine Beschreibung des ursprünglichen Beweises des Satzes von Gallai finden sich z. Borwein & Moser (1990).
Kellys Beweis [ edit ]
Notation für Kellys Beweis Dieser Nachweis ist Leroy Milton Kelly zu verdanken.
Angenommen, eine endliche Menge S von Punkten ist nicht alle kollinear. Definieren Sie eine Verbindungslinie als Linie, die mindestens zwei Punkte in der Sammlung enthält. Nach der Endlichkeit muss es einen Punkt P und eine Verbindungslinie ℓ geben, die einen positiven Abstand voneinander haben, aber näher als alle anderen Punktlinienpaare sind. Wir werden beweisen, dass im Widerspruch normal ist.
Angenommen, ] ist nicht gewöhnlich. Dann durchläuft es mindestens drei Punkte von S . Mindestens zwei davon befinden sich auf derselben Seite von P 'der senkrechten Projektion von P auf [1945. Nennen Sie sie B und C wobei B P ' am nächsten ist (und möglicherweise mit ihm zusammenfällt ) . Zeichnen Sie die Verbindungslinie m die durch P und C, und die Senkrechte von B B bis 19459011 führt m . Dann ist BB ' kürzer als PP' . Dies folgt aus den Tatsachen, dass PP'C und BB'C ähnliche Dreiecke sind, die ineinander liegen.
Dies widerspricht jedoch der ursprünglichen Definition von P und [1945 als Punktlinienpaar mit der kleinsten positiven Entfernung. Die Annahme, dass nicht gewöhnlich ist, kann nicht wahr sein, QED.
Melchior's Beweis [ edit ]
Im Jahr 1941 (also vor der Veröffentlichung von Erdős Frage und Gallais nachfolgendem Beweis) zeigte Melchior, dass jede nicht-triviale Anordnung von Linien in der Projektionsebene dies hat mindestens drei gewöhnliche Punkte. In der Dualität bedeutet dieses Ergebnis auch, dass jede endliche nichttriviale Menge von Punkten auf der Ebene mindestens drei gewöhnliche Linien hat.
Melchior beobachtete, dass für jeden in die reale Projektionsebene eingebetteten Graphen die Formel V - E + F muss gleich 1 sein, die Euler-Eigenschaft der Projektionsebene. Hier V E und F sind die Anzahl der Scheitelpunkte, Kanten bzw. Flächen des Graphen. Jede nichttriviale Linienanordnung auf der Projektionsebene definiert einen Graphen, in dem jede Fläche durch mindestens drei Kanten begrenzt ist und jede Kante zwei Flächen begrenzt. Doppelzählung ergibt also die zusätzliche Ungleichung F ≤ 2 E / 3. Die Verwendung dieser Ungleichung, um F von der Euler-Charakteristik zu beseitigen, führt zu der Ungleichung E ≤ 3 V - 3. Aber wenn jeder Scheitelpunkt der Anordnung der Kreuzungspunkt wäre von drei oder mehr Zeilen wäre die Gesamtanzahl der Kanten mindestens 3 V was dieser Ungleichung widerspricht. Daher müssen einige Eckpunkte der Kreuzungspunkt von nur zwei Linien sein, und wie Melchior sorgfältigere Analyse zeigt, sind mindestens drei gewöhnliche Eckpunkte erforderlich, um die Ungleichung zu erfüllen E ≤ 3 V ] - 3.
Melchior's Ungleichheit [ edit ]
Durch ein ähnliches Argument konnte Melchior ein allgemeineres Ergebnis nachweisen. Für jeden k ≥ 2 sei t k die Anzahl der Punkte, auf die k Vorfälle auftreten. Dann
Eine Beschreibung des ursprünglichen Beweises des Satzes von Gallai finden sich z. Borwein & Moser (1990).
Kellys Beweis [ edit ]
Dieser Nachweis ist Leroy Milton Kelly zu verdanken.
Angenommen, eine endliche Menge S von Punkten ist nicht alle kollinear. Definieren Sie eine Verbindungslinie als Linie, die mindestens zwei Punkte in der Sammlung enthält. Nach der Endlichkeit muss es einen Punkt P und eine Verbindungslinie ℓ geben, die einen positiven Abstand voneinander haben, aber näher als alle anderen Punktlinienpaare sind. Wir werden beweisen, dass im Widerspruch normal ist.
Angenommen, ] ist nicht gewöhnlich. Dann durchläuft es mindestens drei Punkte von S . Mindestens zwei davon befinden sich auf derselben Seite von P 'der senkrechten Projektion von P auf [1945. Nennen Sie sie B und C wobei B P ' am nächsten ist (und möglicherweise mit ihm zusammenfällt ) . Zeichnen Sie die Verbindungslinie m die durch P und C, und die Senkrechte von B B bis 19459011 führt m . Dann ist BB ' kürzer als PP' . Dies folgt aus den Tatsachen, dass PP'C und BB'C ähnliche Dreiecke sind, die ineinander liegen.
Dies widerspricht jedoch der ursprünglichen Definition von P und [1945 als Punktlinienpaar mit der kleinsten positiven Entfernung. Die Annahme, dass nicht gewöhnlich ist, kann nicht wahr sein, QED.
Melchior's Beweis [ edit ]
Im Jahr 1941 (also vor der Veröffentlichung von Erdős Frage und Gallais nachfolgendem Beweis) zeigte Melchior, dass jede nicht-triviale Anordnung von Linien in der Projektionsebene dies hat mindestens drei gewöhnliche Punkte. In der Dualität bedeutet dieses Ergebnis auch, dass jede endliche nichttriviale Menge von Punkten auf der Ebene mindestens drei gewöhnliche Linien hat.
Melchior beobachtete, dass für jeden in die reale Projektionsebene eingebetteten Graphen die Formel V - E + F muss gleich 1 sein, die Euler-Eigenschaft der Projektionsebene. Hier V E und F sind die Anzahl der Scheitelpunkte, Kanten bzw. Flächen des Graphen. Jede nichttriviale Linienanordnung auf der Projektionsebene definiert einen Graphen, in dem jede Fläche durch mindestens drei Kanten begrenzt ist und jede Kante zwei Flächen begrenzt. Doppelzählung ergibt also die zusätzliche Ungleichung F ≤ 2 E / 3. Die Verwendung dieser Ungleichung, um F von der Euler-Charakteristik zu beseitigen, führt zu der Ungleichung E ≤ 3 V - 3. Aber wenn jeder Scheitelpunkt der Anordnung der Kreuzungspunkt wäre von drei oder mehr Zeilen wäre die Gesamtanzahl der Kanten mindestens 3 V was dieser Ungleichung widerspricht. Daher müssen einige Eckpunkte der Kreuzungspunkt von nur zwei Linien sein, und wie Melchior sorgfältigere Analyse zeigt, sind mindestens drei gewöhnliche Eckpunkte erforderlich, um die Ungleichung zu erfüllen E ≤ 3 V ] - 3.
Melchior's Ungleichheit [ edit ]
Durch ein ähnliches Argument konnte Melchior ein allgemeineres Ergebnis nachweisen. Für jeden k ≥ 2 sei t k die Anzahl der Punkte, auf die k Vorfälle auftreten. Dann