In der Mathematik ist das Spektrum einer C * -Algebra oder dual einer C * -Algebra A bezeichnet als Satz einheitlicher Äquivalenzklassen von irreduziblen * Repräsentationen von A . Eine * -repräsentation π von A auf einem Hilbert-Raum H ist irreduzibel wenn und nur wenn kein geschlossener Unterraum K abweichend von H und {0}, die unter allen Operatoren π ( x ) mit x A A invariant ist. Wir nehmen implizit an, dass irreduzible Repräsentation nicht-null irreduzible Repräsentation bedeutet, wodurch triviale (d. H. Identische 0) Repräsentationen in eindimensionalen Räumen ausgeschlossen werden. Wie nachstehend erläutert, ist das Spektrum natürlich auch ein topologischer Raum; Dies ist ähnlich wie das Spektrum eines Rings.
Eine der wichtigsten Anwendungen dieses Konzepts besteht darin, einer lokal kompakten Gruppe einen Begriff des dualen Objekts zu vermitteln. Dieses duale Objekt eignet sich zur Formulierung einer Fourier-Transformation und eines Plancherel-Theorems für unimodular separierbare lokal kompakte Gruppen des Typs I und eines Zerlegungstheorem für beliebige Darstellungen von separierbaren lokal kompakten Gruppen des Typs I. Die resultierende Dualitätstheorie für lokal kompakte Gruppen ist jedoch viel schwächer als die Tannaka-Kerin-Dualitätstheorie für kompakte topologische Gruppen oder Pontryagin-Dualität für lokal kompakte abelsche Gruppen, die beide vollständige Invarianten sind. Dass das Dual keine vollständige Invariante ist, wird leicht als das Dual einer beliebigen endlichdimensionalen Vollmatrix-Algebra M n ( C ) betrachtet, die aus einem einzigen Punkt besteht.
Primitives Spektrum [ edit ]
Die Topologie von kann auf mehrere äquivalente Arten definiert werden. Wir definieren es zuerst anhand des primitiven Spektrums .
Das primitive Spektrum von A ist die Menge der primitiven Ideale Prim ( A ) von A wobei ein primitives Ideal der Kern eines irreduziblen ist. -Darstellung. Die Menge der primitiven Ideale ist ein topologischer Raum mit der Rumpf-Kernel-Topologie (oder Jacobson-Topologie ). Dies ist wie folgt definiert: Wenn X eine Gruppe primitiver Ideale ist, dann ist dessen Rumpfschließung
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