Normales Schema - Wikipedia

In der algebraischen Geometrie ist eine algebraische Variante oder ein algebraisches Schema X normal wenn es an jedem Punkt normal ist, was bedeutet, dass der lokale Ring am Punkt eine integral geschlossene Domäne ist. Eine affine Varietät X (als irreduzibel zu verstehen) ist genau dann normal, wenn der Ring O (19459003] X ) reguläre Funktionen auf X ist ] ist eine vollständig geschlossene Domäne. Eine Sorte X über ein Feld ist normal, wenn und nur dann, wenn jeder endliche Doppelmorphismus aus einer beliebigen Sorte Y bis X ein Isomorphismus ist.

Normale Sorten wurden von Zariski (1939, Abschnitt III) eingeführt.

Geometrische und algebraische Interpretationen der Normalität [ edit ]

Ein Morphismus von Varietäten ist endlich, wenn das inverse Bild jedes Punktes endlich und der Morphismus angemessen ist. Ein Morphismus der Sorten ist birational, wenn es auf einen Isomorphismus zwischen dichten offenen Teilmengen beschränkt ist. So zum Beispiel die cuspidal kubische Kurve X in der affinen Ebene A ² definiert durch x ² = y [19659006] 3 ist nicht normal, weil es einen endlichen birationalen Morphismus gibt A ¹ → X (d. h. t Karten ( t ³ t ² )), bei denen es sich nicht um einen Isomorphismus handelt. Dagegen ist die affine Linie A ¹ normal: Sie kann durch endliche Doppelmorphismen nicht weiter vereinfacht werden.

Eine normale komplexe Sorte X hat die Eigenschaft, als geschichteter Raum mit klassischer Topologie betrachtet, dass jeder Link miteinander verbunden ist. Entsprechend hat jeder komplexe Punkt x beliebig kleine Nachbarschaften U so dass U minus ist die singuläre Menge von X ist verbunden. Zum Beispiel folgt daraus, dass die Knoten-Kubikkurve X in der Figur definiert ist durch x ² = y ² (19459003). y + 1) ist nicht normal. Dies ergibt sich auch aus der Definition von Normalität, da es einen endlichen birationalen Morphismus von A ¹ bis X gibt, der kein Isomorphismus ist; es sendet zwei Punkte von A ¹ an denselben Punkt in X .

Allgemeiner ist ein Schema X normal wenn jeder seiner lokalen Ringe

O _{X, x}

ist eine integral geschlossene Domäne. Das heißt, jeder dieser Ringe ist eine integrale Domäne R und jeder Ring S mit R S ⊆ Frac [ ] R ), so dass S endlich erzeugt wird, da ein R -Modul gleich R ist. (Here Frac ( R ) bezeichnet das Feld von Brüchen von R .) Dies ist eine direkte Übersetzung, ausgedrückt als lokale Ringe, der geometrischen Bedingung, die jeder endliche Birationsmorphismus auf X ist ein Isomorphismus.

Ein älterer Gedanke ist, dass eine Unterart X des projizierten Raums linear normal ist, wenn das lineare System, das die Einbettung ergibt, abgeschlossen ist. X [1945 P ⁿ ist nicht die lineare Projektion einer Einbettung X ⊆ P ^{n + 1} (es sei denn X ist enthalten in einer Hyperebene P ⁿ ). Dies ist die Bedeutung von "normal" in den Sätzen "rationale Normalkurve" und "rationales normales Blättern".

Jeder reguläre Plan ist normal. Umgekehrt zeigte Zariski (1939, Theorem 11), dass jede normale Sorte außerhalb einer Teilmenge der Codimension von mindestens 2 regelmäßig ist, und ein ähnliches Ergebnis gilt für Schemata. ^[1] So ist beispielsweise jede normale Kurve regelmäßig.

Die Normalisierung [ edit ]

Jedes reduzierte Schema X hat eine eindeutige Normalisierung : ein normales Schema Y ] mit einem integralen birationalen Morphismus Y → X . (Für X eine Varietät über ein Feld ist der Morphismus Y → X endlich, was stärker ist als "integral". ^[2]) Die Normalisierung von Ein Schema der Dimension 1 ist regelmäßig, und die Normalisierung eines Schemas der Dimension 2 hat nur vereinzelte Singularitäten. Normalisierung wird normalerweise nicht für die Auflösung von Singularitäten für Schemata höherer Dimension verwendet.

Um die Normalisierung zu definieren, sei zunächst angenommen, dass X ein nicht reduzierbares reduziertes Schema ist X . Jede affine offene Untermenge von X hat die Form Spec R mit R eine integrale Domäne. Schreiben Sie X als eine Vereinigung von affinen offenen Subsets Spec A _i . Es sei B _i die integrale Schließung von A _i in seinem Bruchbereich. Dann wird die Normalisierung von X definiert, indem die affinen Schemata zusammengefügt werden Spec B _i .

Wenn das ursprüngliche Schema nicht irreduzibel ist, wird die Normalisierung als die disjunkte Vereinigung der Normalisierungen der irreduziblen Komponenten definiert. Zum Beispiel ${ displaystyle X = { text {Spec}} ( mathbb {C} [x,y] / (xy))}$ ist ein reduzierbares Schema, da es aus zwei Komponenten besteht. Seine Normalisierung ist gegeben durch ${ displaystyle { text {Spec}} ( mathbb {C} [x,y] / (x) times mathbb {C} [x,y] / (y)) an { text {Spec}} ( mathbb {C} [x,y] / (xy))}$