Lefschetz-Bleistift - Wikipedia

In der Mathematik ist ein Lefschetz-Bleistift eine von Solomon Lefschetz betrachtete Konstruktion in algebraischer Geometrie zur Analyse der algebraischen Topologie einer algebraischen Varietät V .

Beschreibung [ edit ]

Ein Bleistift ist eine besondere Art eines linearen Systems von Divisoren auf V nämlich einem Einparameter Familie, parametrisiert durch die Projektionslinie. Dies bedeutet, dass bei einer komplexen algebraischen Varietät V ein Lefschetz-Stift so etwas wie eine Schwingung über der Riemannschen Kugel ist; aber mit zwei Qualifikationen über Singularität.

Der erste Punkt ergibt sich, wenn wir davon ausgehen, dass V als projektive Varietät angegeben wird und die Divisoren auf V Hyperebenenabschnitte sind. Angenommen, Hyperplanes H und H 'würden den Stift überspannen - mit anderen Worten, H ist gegeben durch L = 0 und ] H 'bis L ' = 0 für lineare Formen L und L ', und der allgemeine Abschnitt der Hyperebene ist V mit geschnitten

${\displaystyle \mathrm{\lambda \; <!--\; \lambda \; -->}L+\mathrm{\mu \; <!--\; \mu \; -->}{L}^{\mathrm{\&\#39;<!--\; \prime \; -->}}=0.}$

Dann wird die Kreuzung J von H mit H &#39;hat Codimension zwei. Es gibt eine rationale Abbildung

${\displaystyle V\to \; <!--\; \to \; -->P^1}$

was tatsächlich nur außerhalb der Punkte an der Kreuzung von J mit V definiert ist. Um ein genau definiertes Mapping zu erstellen, müssen einige Sprengungen auf V angewendet werden.

Der zweite Punkt ist, dass die Fasern selbst &quot;degenerieren&quot; und singuläre Punkte erhalten können (wenn Bertinis Lemma gilt, wird der allgemeine Hyperebenenabschnitt glatt sein). Ein Lefschetz-Bleistift schränkt die Art der erworbenen Singularitäten ein, so dass die Topologie durch die Methode des Fluchtzyklus analysiert werden kann. Die Fasern mit Singularitäten müssen nur eine einzige quadratische Singularität haben. ^[1]

Es wurde gezeigt, dass Lefschetz-Bleistifte in einem charakteristischen Nullpunkt existieren. Sie gelten in ähnlicher Weise wie Morse-Funktionen auf glatten Verteilern, sind jedoch komplizierter als diese.

Simon Donaldson hat eine Rolle für Lefschetz-Stifte in der symplektischen Topologie gefunden, was zu neueren Forschungsinteressen geführt hat.

Siehe auch [ edit ]

Referenzen [ edit

• S. K. Donaldson, Lefschetz-Fibrationen in der Symplektischen Geometrie Doc. Mathematik. J. DMV Extra Volume ICM II (1998), 309-314
• P. Griffiths; J. Harris (1994). Prinzipien der algebraischen Geometrie . Wiley Classics Library. Wiley Interscience. p. 509. ISBN 0-471-05059-8.

Externe Links [ edit ]