Ring aus Sätzen - Wikipedia

In der Mathematik gibt es zwei verschiedene Begriffe eines Ringes von Sets die sich auf bestimmte Familien von Sets beziehen.

In der Ordnungstheorie wird eine nicht-leere Familie von Mengen ${\displaystyle \mathcal{R}}$ "/> als Ring bezeichnet ), falls unter Vereinigung und Schnittmenge geschlossen ist. ^[1] Das heißt, die folgenden beiden Aussagen gelten für alle Sets ${ displaystyle A}$ und ${ displaystyle B}$,

1. ${ Displaystyle A, B in { mathcal {R}}$ impliziert ${ displaystyle A cup B in {mathcal {R}}}$ und
2. ${\displaystyle AB65\; <!--\; \in \; -->\mathcal{R}}$ impliziert ${ displaystyle A cap B in { mathcal {R}}.}$

In Maßtheorie eine nichtleere Familie von Sets ${\displaystyle \mathcal{R}}$ wird als Ring (von Mengen) bezeichnet, wenn es unter Union geschlossen wird und relatives Komplement (satztheoretische Differenz). ^[2] Das heißt, Folgendes Zwei Aussagen gelten für alle Sätze ${ displaystyle A}$ und ${ displaystyle B}$.

1. ${ Displaystyle A, B in { mathcal {R}}$ impliziert ${ displaystyle A cup B in {mathcal {R}}}$ und
2. ${\displaystyle AB65\; <!--\; \in \; -->\mathcal{R}}$ impliziert ${ displaystyle A setminus B in { mathcal {R}}.}$

Dies impliziert, dass ein Ring im maßstheoretischen Sinne immer die leere Menge enthält. Darüber hinaus gilt für alle Sets ${ displaystyle A}$ und ${ displaystyle B}$.

${ Displaystyle A Cap B = A Setminus (A Setminus B),}$