In der Mathematik, insbesondere in der algebraischen Geometrie, der komplexen Analyse und der algebraischen Zahlentheorie, ist eine abelsche Sorte eine projektive algebraische Varietät, die ebenfalls eine algebraische Gruppe ist, dh ein Gruppengesetz, das durch definiert werden kann regelmäßige Funktionen. Abelsche Varietäten gehören gleichzeitig zu den am meisten untersuchten Objekten in der algebraischen Geometrie und sind unverzichtbare Werkzeuge für die Erforschung anderer Themen der algebraischen Geometrie und Zahlentheorie. Eine abelsche Sorte kann durch Gleichungen mit Koeffizienten in einem beliebigen Feld definiert werden; Die Sorte soll dann über dieses Feld definiert sein. Historisch waren die ersten abelschen Varietäten, die über das Feld komplexer Zahlen definiert wurden. Solche abelschen Varietäten erweisen sich als genau die komplexen Tori, die in einen komplexen Projektionsraum eingebettet werden können. Ein über algebraische Zahlenfelder definierter Abelscher Varietäten ist ein Sonderfall, der auch aus Sicht der Zahlentheorie wichtig ist. Lokalisierungstechniken führen natürlich von abelschen Varietäten, die über Zahlenfelder definiert werden, zu solchen, die über endlichen Feldern und verschiedenen lokalen Feldern definiert sind. Da ein Zahlenfeld das Bruchfeld einer Dedekind-Domäne ist, gibt es für jede nicht-null-Primzahl Ihrer Dedekind-Domäne eine Zuordnung von der Dedekind-Domäne zum Quotienten der Dedekind-Domäne durch die Primzahl, die ein endliches Feld für alle endlichen Primzahlen ist . Dies führt zu einer Karte vom Bruchfeld zu einem solchen endlichen Feld. Wenn eine Kurve mit einer über dem Zahlenfeld definierten Gleichung gegeben ist, können wir diese Abbildung auf die Koeffizienten anwenden, um eine über einem endlichen Feld definierte Kurve zu erhalten, wobei die Auswahl des endlichen Feldes den endlichen Primzahlen des Zahlenfelds entspricht.
Abelsche Varietäten erscheinen natürlicherweise als Jacobische Varietäten (die zusammenhängenden Bestandteile von Null in Picard-Varietäten) und Albanissorten anderer algebraischer Varietäten. Das Gruppengesetz einer abelschen Varietät ist notwendigerweise kommutativ und die Varietät ist nicht singulär. Eine elliptische Kurve ist eine abelsche Varietät der Dimension 1. Abelsche Varietäten haben die Kodaira-Dimension 0.
Geschichte und Motivation [ edit ]
Im frühen neunzehnten Jahrhundert gelang es der Theorie der elliptischen Funktionen, eine Grundlage für die Theorie der elliptischen Integrale zu schaffen, und dies ließ ein naheliegendes offen Allee der Forschung. Die Standardformen für elliptische Integrale umfassten die Quadratwurzeln von kubischen und quartischen Polynomen. Wenn diese durch Polynome höheren Grades ersetzt wurden, sagen Quintetiker, was würde dann passieren?
In der Arbeit von Niels Abel und Carl Jacobi wurde die Antwort formuliert: Dies würde Funktionen zweier komplexer Variablen mit vier unabhängigen Perioden (d. H. Periodenvektoren) umfassen. Dies gab den ersten Blick auf eine abelsche Varietät der Dimension 2 (abelianische Oberfläche ): Was würde jetzt als Jacobian einer hyperelliptischen Kurve der Gattung 2 bezeichnet .
Nach Abel und Jacobi waren Riemann, Weierstrass, Frobenius, Poincaré und Picard einige der wichtigsten Beiträge zur Theorie der abelschen Funktionen. Das Thema war zu dieser Zeit sehr populär und hatte bereits eine große Literatur.
Ende des 19. Jahrhunderts hatten Mathematiker begonnen, geometrische Methoden zur Untersuchung abelscher Funktionen einzusetzen. In den 1920er Jahren legte Lefschetz schließlich die Grundlage für die Untersuchung abelscher Funktionen in Bezug auf komplexe Tori. Er scheint auch der erste zu sein, der den Namen "Abelian Varietät" verwendet. Es war André Weil in den 1940er Jahren, der dem Subjekt seine modernen Grundlagen in der Sprache der algebraischen Geometrie gab.
Abelsche Varietäten sind heute ein wichtiges Werkzeug in der Zahlentheorie, in dynamischen Systemen (genauer in der Untersuchung von Hamiltonschen Systemen) und in der algebraischen Geometrie (insbesondere Picard-Varietäten und Albanese-Varietäten).
Analytische Theorie [ edit ]
Definition [ edit ]
Ein komplexer Torus der Dimension g ist ein Torus der realen Dimension 2 g der die Struktur einer komplexen Mannigfaltigkeit trägt. Es kann immer als Quotient eines g -dimensionalen komplexen Vektorraums durch ein Gitter mit Rang 2 g erhalten werden. Eine komplexe abelsche Dimensionsvariante g ist ein komplexer Dimensionstor g der auch eine projektive algebraische Varietät über das Feld komplexer Zahlen ist. Da es sich um komplexe Tori handelt, tragen abelsche Sorten die Struktur einer Gruppe. Ein Morphismus abelscher Varietäten ist ein Morphismus der zugrunde liegenden algebraischen Varietäten, der das Identitätselement für die Gruppenstruktur bewahrt. Eine -Isogenie ist ein endlicher-zu-eins-Morphismus.
Wenn ein komplexer Torus die Struktur einer algebraischen Varietät trägt, ist diese Struktur notwendigerweise einzigartig. Im Fall g = 1 ist der Begriff der abelschen Varietät derselbe wie der der elliptischen Kurve, und jeder komplexe Torus führt zu einer solchen Kurve; für g > 1 ist seit Riemann bekannt, dass der algebraische Sortenzustand einem komplexen Torus zusätzliche Beschränkungen auferlegt.
Riemann-Bedingungen [ edit ]
Das folgende Kriterium von Riemann entscheidet, ob ein bestimmter komplexer Torus eine abelsche Varietät ist, dh ob er in einen projektiven Raum eingebettet werden kann oder nicht . X sei ein g -dimensionaler Torus, angegeben als X = V / L V ist ein komplexer Vektorraum der Dimension g und L ist ein Gitter in V . Dann ist X nur dann eine abelsche Sorte, wenn auf V eine positiv definierte hermitianische Form existiert, deren Imaginärteil ganzzahlige Werte auf L × L hat . Eine solche Form auf X wird gewöhnlich als (nicht entartete) Riemann-Form bezeichnet. Wenn man eine Grundlage für V und L wählt, kann man diese Bedingung noch deutlicher machen. Hierfür gibt es mehrere gleichwertige Formulierungen. Sie alle sind als Riemannsche Bedingungen bekannt.
Der Jacobian einer algebraischen Kurve [ edit ]
Jede algebraische Kurve C der Gattung g ≥ 1 ist mit einem Abelian verbunden Sorte J der Dimension g mittels einer analytischen Karte von C bis J . J besitzt als Torus eine kommutative Gruppenstruktur, und das Abbild von C erzeugt J als Gruppe. Genauer gesagt, J wird durch C abgedeckt: [1] Jeder Punkt in J stammt von einem g -tuple von Punkten in C . Das Studium der Differentialformen am C aus dem abelsche Integrale hervorgingen, mit denen die Theorie begann, lässt sich aus der einfacheren, translationsinvarianten Differenzialtheorie von ableiten. J . Die abelsche Sorte J wird die jakobinische Sorte von C genannt, für jede nicht singuläre Kurve C über die komplexen Zahlen. Aus der Sicht der birationalen Geometrie ist ihr Funktionsfeld das feste Feld der symmetrischen Gruppe auf g Buchstaben, die auf das Funktionsfeld von C g wirken.
Abelsche Funktionen [ edit ]
Eine abelsche Funktion ist eine meromorphe Funktion einer abelschen Sorte, die daher als periodische Funktion von angesehen werden kann ] n komplexe Variablen mit 2 n unabhängigen Zeiträumen; Äquivalent ist es eine Funktion im Funktionsfeld einer abelschen Sorte. Im neunzehnten Jahrhundert gab es zum Beispiel großes Interesse an hyperelliptischen Integralen, die als elliptische Integrale ausgedrückt werden können. Dies hängt mit der Frage zusammen, dass J ein Produkt elliptischer Kurven ist, bis zu einer Isogenie.
Wichtige Sätze [ edit ]
Ein wichtiger Struktursatz abelscher Varietäten ist der Satz von Matsusaka . Darin heißt es, dass über einem algebraisch geschlossenen Feld jede abelsche Sorte der Quotient des Jacobian einer Kurve ist; Das heißt, es gibt eine gewisse Auswirkung abelscher Sorten ist ein Jacobianer. Dieser Satz gilt auch dann, wenn das Bodenfeld unendlich ist. [2]
Algebraische Definition [ edit ]
Zwei äquivalente Definitionen der abelschen Sorte über ein allgemeines Feld k sind häufig in Benutzung:
Wenn die Basis das Feld komplexer Zahlen ist, stimmen diese Begriffe mit der vorherigen Definition überein. Elliptische Kurven sind über alle Basen abelsche Varietäten der Dimension 1.
In den frühen 1940er Jahren verwendete Weil die erste Definition (über ein beliebiges Basisfeld), konnte aber zunächst nicht beweisen, dass er die zweite implizierte. Erst 1948 bewies er, dass vollständige algebraische Gruppen in den projektiven Raum eingebettet werden können. Um die Riemannsche Hypothese für Kurven über endlichen Feldern, die er 1940 angekündigt hatte, zu beweisen, musste er den Begriff einer abstrakten Varietät einführen und die Grundlagen der algebraischen Geometrie neu schreiben, um mit Varietäten ohne projektives Einbetten zu arbeiten (Siehe auch den Abschnitt zur Geschichte im Artikel Algebraische Geometrie).
Struktur der Punktgruppe [ edit ]
Nach den Definitionen ist eine abelsche Sorte eine Gruppensorte. Die Punktegruppe kann als kommutativ erwiesen werden.
Für C und damit nach dem Lefschetz-Prinzip für jedes algebraisch geschlossene Feld mit charakteristischem Nullpunkt ist die Torsionsgruppe einer abelschen Dimensionsvariante g isomorph zu [. Q / Z ) 2 g . Daher ist ihr n -Torsionsteil isomorph zu ( Z / n Z ) 2 g d das Produkt von 2 g Exemplaren der zyklischen Auftragsgruppe n .
Wenn das Basisfeld ein algebraisch geschlossenes Charakteristikfeld ist p ist der n -Torsion noch isomorph zu [ Z / n [19659056] Z ) 2 g g, als n und p koprim sind. Wenn n und p keine Gleichzeitigkeit sind, kann dasselbe Ergebnis erzielt werden, sofern man es so interpretiert, als würde man sagen, dass der -Torsion ein endliches, flaches Gruppenschema definiert Rang 2 g . Betrachtet man nicht die gesamte Schemastruktur des n -Torsions, sondern nur die geometrischen Punkte, so erhält man eine neue Invariante für Varietäten im Merkmal p (die sogenannte p -Rank, wenn n = p ).
Die Gruppe von k -rationalen Punkten für ein globales Feld k wird endlich durch das Mordell-Weil-Theorem erzeugt. Durch den Struktursatz für endlich erzeugte abelsche Gruppen ist er daher isomorph zu einem Produkt einer freien abelschen Gruppe Z r und einer endlichen kommutativen Gruppe für eine nicht negative ganze Zahl r wurde der Rang der abelschen Sorte genannt. Ähnliche Ergebnisse gelten für einige andere Feldklassen k .
Produkte [ edit ]
Das Produkt einer abelianischen Sorte A der Dimension m und einer abelianischen Sorte B von dimension n über demselben Feld, ist eine abelsche Abmessung der Dimension m + n . Eine abelsche Sorte ist einfach wenn sie nicht isogen zu einem Produkt abelscher Sorten geringerer Dimension ist. Jede abelsche Sorte ist für ein Produkt einfacher abelscher Sorten isogen.
Polarisation und duale abelsche Sorte [ edit ]
Duale abelsche Sorte [ edit ]
Zu einer abelianischen Sorte A über einem Feld k assoziiert man eine dual abelianische Sorte A v (über dasselbe Feld), die die Lösung des folgenden Modulproblems darstellt. Eine Familie von Leitungsbündeln des Grades 0, die durch eine k -Variante T parametrisiert wird, wird als Linienbündel L definiert A × T derart, dass
- für alle t in T die Einschränkung von L auf A × { t ] ein Linienbündel Grad 0,
- die Einschränkung von L auf {0} × T ist ein triviales Leitungsbündel (hier ist 0 die Identität von A
Dann gibt es eine Sorte A v und eine Familie von Leitungsbündeln 0 (19459006) P das Poincaré-Bündel, parametrisiert durch A . v so dass eine Familie L am T einem einzigartigen Morphismus f : T → A zugeordnet ist ] v so dass L isomorph zum Rückzug von P entlang des Morphismus ist 1 A × f : : A × T → A × A v . Wendet man dies auf den Fall an, wo T ein Punkt ist, so sehen wir, dass die Punkte von A v Linienbündeln von Grad 0 auf A entsprechen. So gibt es eine natürliche Gruppenoperation auf A v die durch Tensorprodukt von Linienbündeln gegeben wird, was es zu einer abelschen Sorte macht.
Diese Assoziation ist eine Dualität in dem Sinne, dass es einen natürlichen Isomorphismus gibt zwischen dem doppelten Dual A vv und A (definiert über das Poincaré-Bündel) und diesem ist kontravariant functorial, dh es verbindet sich mit allen Morphismen f : A → B Dualmorphismen f v : B v → A v in kompatibler Weise. Die n -Torsion einer abelschen Sorte und die -Torsion ihres Duales sind dual, wenn n zur Charakteristik der Basis mitreist. Im Allgemeinen - für alle n - sind die n -Torsionsgruppenpläne von dualen abelschen Sorten Cartier-Dualen. Dies verallgemeinert die Weil-Paarung für elliptische Kurven.
Polarisationen [ edit ]
Eine -Polarisation einer abelschen Varietät ist eine -Isogenie aus einer abelschen Varietät, die symmetrisch ist in Bezug auf double duality für abelsche Varietäten, für die der Rückzug des Poincaré-Bündels entlang des zugehörigen Graph-Morphismus ausreichend ist (er ist also analog zu einer positiv-definitiven quadratischen Form). Polarisierte abelsche Varietäten haben endliche Automorphismengruppen. Eine Hauptpolarisation ist eine Polarisation, die ein Isomorphismus ist. Jacobians von Kurven sind auf natürliche Weise mit einer Hauptpolarisation ausgestattet, sobald ein beliebiger rationaler Basispunkt auf der Kurve ausgewählt wird, und die Kurve kann aus ihrem polarisierten Jacobian rekonstruiert werden, wenn die Gattung> 1 ist. Nicht alle prinzipiell polarisierten abelschen Varietäten sind Jacobians von Kurven; siehe das Schottky-Problem. Eine Polarisation induziert eine Rosati-Involution am Endomorphismusring von A .
Polarisationen über den komplexen Zahlen [ edit ]
Über die komplexen Zahlen kann eine polarisierte abelsche Sorte auch als eine abelsche Sorte definiert werden zusammen mit einer Wahl einer Riemannschen Form H . Zwei Riemannsche Formen H 1 und H 2 werden als äquivalent bezeichnet, wenn positive ganze Zahlen n und m vorliegen dass nH 1 = mH 2 . Eine Wahl einer Äquivalenzklasse von Riemannschen Formen auf A wird als Polarisation von A bezeichnet. Ein Morphismus von polarisierten abelschen Varietäten ist ein Morphismus A → B von abelianischen Varietäten, so dass der Rückzug der Riemannschen Form B B A ist ] entspricht der angegebenen Form auf A .
Abelsches Schema [ edit ]
Man kann auch abelianische Sorten systemtheoretisch und relativ zu einer Basis definieren. Dies ermöglicht eine einheitliche Behandlung von Phänomenen wie Reduction mod p von abelianischen Varietäten (siehe Arithmetik abelianischer Varietäten) und Parameterfamilien von abelianischen Varietäten. Ein abelsches Schema über einem Basisschema S mit relativer Dimension g ist ein ordentliches, glattes Gruppenschema über S dessen geometrische Fasern verbunden sind und der Dimension g . Die Fasern eines abelschen Schemas sind abelsche Varietäten, man könnte sich also ein abelsches Schema über S als eine Familie abelscher Varietäten vorstellen, die von S parametrisiert wurde.
Für ein abelianisches Schema A / S bildet die Gruppe von n -Torsionspunkten ein endliches Gruppengruppenschema. Die Vereinigung der p n -Torsionspunkte bildet für alle n eine p-teilbare Gruppe. Verformungen abelscher Schemata werden nach dem Serre-Tate-Theorem von den Verformungseigenschaften der zugehörigen p teilbaren Gruppen bestimmt.
Semiabelian-Sorte [ edit ]
Eine Semiabian-Sorte ist eine kommutative Gruppensorte, die eine Erweiterung einer abelschen Sorte um einen Torus darstellt.
Siehe auch [ edit ]
Referenzen [ edit
- ^ Bruin, N. "N-Covers of Hyperelliptic Kurven " (PDF) . Math Department Oxford Universität . 14. Januar 2015 abgerufen. J wird von C g :
- ^ Milne, JS, jakobianische Sorten abgedeckt. in Arithmetic Geometry, Hrsg. Cornell und Silverman, Springer-Verlag, 1986
Sources [ edit
- Birkenhake, Christina; Lange, H. (1992), Komplexe Abelian-Sorten Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-54747-3 . Eine umfassende Behandlung der komplexen Theorie, mit einem Überblick über die Geschichte des Subjekts.
- Dolgachev, I.V. (2001) [1994]"Abelian Schema", in Hazewinkel, Michiel, Enzyklopädie der Mathematik Springer Science + Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 [19459078
- Faltings, Gerd; Chai, Ching-Li (1990), Degeneration abelianischer Sorten Springer Verlag, ISBN 3-540-52015-5
- Milne, James, Abelian Varieties abgerufen 6. Oktober 2016 . Online-Kursunterlagen.
- Mumford, David (2008) [1970] Abelsche Varietäten Tata-Institut für Grundlagenforschung in Mathematik, 5 Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-81-85931-86-9, MR 0282985, OCLC 138290
- Venkov, BB; Parshin, A.N. (2001) [1994]"Abelian_variety", in Hazewinkel, Michiel, Enzyklopädie der Mathematik Springer Science + Business Media BV / Verlag Kluwer Academic, ISBN 978-1-55608-010-4
- Bruin, N; Flynn, E. V., N-COVERS VON HYPERELLIPTISCHEN KURVEN (PDF) Oxford: Mathematical Institute, University of Oxford . Beschreibung des Jacobian der Bedeckungskurven
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