Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit - Wikipedia

In der Differentialgeometrie ist ein pseudo-riemannianischer Krümmer ^[1][2]auch Semi-Riemannscher Krümmer genannt, ein differenzierbarer Krümmer mit einem metrischen Tensor, der überall nichtdegeneriert ist. Dies ist eine Verallgemeinerung einer Riemannschen Mannigfaltigkeit, in der das Erfordernis einer positiven Definitivität gelockert wird.

Jeder Tangentenraum einer Pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeit ist ein Pseudo-Euklidischer Vektorraum.

Ein Sonderfall, der in der Allgemeinen Relativitätstheorie verwendet wird, ist eine vierdimensionale Lorentzsche Mannigfaltigkeit zur Modellierung der Raumzeit, in der Tangentenvektoren als zeitlich, null und raumähnlich klassifiziert werden können.

Einleitung [ edit ]

Mannigfaltigkeiten edit

Bei der differentiellen Geometrie ist ein differenzierbarer Mannigfaltigkeitsraum ein Raum, der lokal ähnlich ist ein euklidischer Raum. In einem n -dimensionalen euklidischen Raum kann jeder Punkt durch n reelle Zahlen angegeben werden. Dies sind die Koordinaten des Punktes.

Eine n -dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit ist eine Verallgemeinerung des n -dimensionalen euklidischen Raums. In einer Mannigfaltigkeit können Koordinaten nur lokal definiert werden . Dies wird durch die Definition von Koordinatenfeldern erreicht: Teilmengen des Verteilers, die in n -dimensionalen euklidischen Raum abgebildet werden können.

Siehe Mannigfaltigkeit Differenzierbarer Mannigfaltigkeit Koordinatenpatch für weitere Einzelheiten.

Tangentiale Räume und metrische Tensoren [ edit ]

Jedem Punkt zugeordnet ${\displaystyle p}$ p "/> p "/> in ${ displaystyle n}$ -differenzierbarer Verteiler ${ displaystyle M}$ ist ein tangentialer Raum (bezeichnet als ${\displaystyle T_{p}M}$). Dies ist ein ${ displaystyle n}$ -dimensionaler -Dimensionaler -Vektorraum, dessen Elemente als Äquivalenzklassen von durch den Punkt verlaufenden Kurven aufgefasst werden können $] { displaystyle p}$.

Ein metrischer Tensor ist eine nicht degenerierte, glatte, symmetrische, bilineare Karte, die Paaren von Tangentenvektoren an jedem Tangentenraum der Mannigfaltigkeit eine reelle Zahl zuordnet. Wenn man den metrischen Tensor mit ${ displaystyle g}$ bezeichnet, können wir dies als ausdrücken

${ displaystyle g: T_ {p} M mal T_ {p} M bis mathbb {R}.}$