Unitarier Trick - Wikipedia

In der Mathematik ist der einheitliche Trick ein Gerät der Darstellungstheorie von Lie-Gruppen, das von Adolf Hurwitz (1897) für die spezielle lineare Gruppe und von Hermann Weyl für allgemeine Halbbildgruppen eingeführt wurde. Es gilt zu zeigen, dass die Darstellungstheorie einer Gruppe G qualitativ von der einer anderen kompakten Gruppe K kontrolliert wird. Ein wichtiges Beispiel ist das, bei dem G die komplexe allgemeine lineare Gruppe ist und K die einheitliche Gruppe, die auf Vektoren gleicher Größe wirkt. Aus der Tatsache, dass die Repräsentationen von K vollständig reduzierbar sind, wird dies für diejenigen von G zumindest in endlichen Dimensionen angenommen.

Die Beziehung zwischen G und K die diese Verbindung vorantreibt, wird traditionell in den Worten ausgedrückt, dass die Lie-Algebra von K eine reale Form der Verbindung ist G . In der Theorie der algebraischen Gruppen lässt sich auch die Beziehung aufstellen, dass K eine dichte Untermenge von G für die Zariski-Topologie ist.

Der Trick funktioniert für reduktive Lie-Gruppen, von denen ein wichtiger Fall halbeinfache Lie-Gruppen sind.

Weyls Theorem [ edit ]

Die vollständige Reduzierbarkeit endlich-dimensionaler linearer Repräsentationen kompakter Gruppen oder verbundener Halbeinfache Lie-Gruppen und komplexer Halbeinfacher Lie-Algebren geht manchmal unter dem Namen Weyls Theorem . ^[1] Ein verwandtes Ergebnis, dass die universelle Abdeckung einer kompakten halbeinfachen Lie-Gruppe ebenfalls kompakt ist, wird ebenfalls mit demselben Namen bezeichnet. ^[2]

Geschichte edit ]]

Adolf Hurwitz hatte gezeigt, wie die Integration über eine kompakte Lie-Gruppe zur Konstruktion von Invarianten verwendet werden kann, im Fall von einheitlichen und kompakten orthogonalen Gruppen. Issai Schur zeigte 1924, dass diese Technik durch die Konstruktion eines invarianten inneren Produkts eine vollständige Reduzierbarkeit von Repräsentationen für solche Gruppen zeigte. Weyl erweiterte die Methode von Schur auf komplexe halbherzige Lie-Algebren, indem sie zeigte, dass sie eine kompakte reale Form hatten. (2001) [1994]"Vollständig reduzierbares Set", Enzyklopädie der Mathematik Springer Science + Business Media BV / Verlag Kluwer Academic, ISBN 978-1-55608-010-4

^ 19659012] Hazewinkel, Michiel, Hrsg. (2001) [1994]"Lie group, compact", Enzyklopädie der Mathematik Springer Science + Business Media BV / Verlag Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4

^ 19659016] Nicolas Bourbaki, Lie-Gruppen und Lie-Algebren (1989), p. 426.

Referenzen [ edit ]

• V. S. Varadarajan, Eine Einführung in die harmonische Analyse von halbgruppenartigen Lie-Gruppen (1999), p. 49.
• Wulf Rossmann, Lie-Gruppen: eine Einführung durch lineare Gruppen (2006), p. 225.
• Roe Goodman, Nolan R. Wallach, Symmetrie, Repräsentationen und Invarianten (2009), p. 171.
• Hurwitz, A. (1897), "Über die Erzeugung der Invarienten durch Integration", Nachrichten Ges. Wiss. Göttingen : 71–90