Grothendiecks relative Sichtweise

Grothendiecks relativer Standpunkt ist eine Heuristik, die in bestimmten abstrakten mathematischen Situationen angewendet wird, mit der groben Bedeutung, Familien von 'Objekten' explizit in Abhängigkeit von Parametern zu berücksichtigen, als das grundlegende Untersuchungsfeld statt eines einzelnen solches Objekt. Sie wurde nach Alexander Grothendieck benannt, der sie bei der Behandlung grundlegender Aspekte der algebraischen Geometrie ausgiebig nutzte. Außerhalb dieses Feldes hat es insbesondere Einfluss auf die Kategorietheorie und die Kategorielogik.

In der üblichen Formulierung wird die Sprache der Kategorietheorie angewendet, um den Standpunkt als Behandlung, nicht als Objekte, zu beschreiben X einer gegebenen Kategorie C als solche, jedoch als Morphismen

f : X → S

wobei S ein feststehendes Objekt ist. Diese Idee wird formell in der Idee der Schichtkategorie der Objekte von C 'über' S formuliert. Um von einer Scheibe zu einer anderen zu wechseln, ist eine -Basisänderung erforderlich; Aus technischer Sicht wird der Basiswechsel zu einem wichtigen Thema für den gesamten Ansatz (siehe beispielsweise Beck-Chevalley-Bedingungen).

Eine Basisänderung 'entlang' eines gegebenen Morphismus

g : T → S

wird typischerweise durch das Faserprodukt gegeben, wobei ein Objekt über T S von einem über S erzeugt wird. . Die "Faser" -Terminologie ist signifikant: Die zugrunde liegende Heuristik ist, dass X über S eine Familie von Fasern ist, eine für jeden "Punkt" von S ; Das Faserprodukt ist dann die Familie auf T die für jeden Punkt von T die Faser nach ihrem Abbild in S beschreibt. Diese satztheoretische Sprache ist zu naiv, um in den erforderlichen Kontext zu passen, sicherlich aus der algebraischen Geometrie. Es verbindet sich jedoch mit der Verwendung des Yoneda-Lemmas, um die 'Punkt'-Idee durch die Behandlung eines Objekts zu ersetzen, wie beispielsweise S sowie' so gut wie 'der darstellbare Fühler, den es einrichtet.

Das Grothendieck-Riemann-Roch-Theorem aus der Zeit um 1956 wird üblicherweise als Schlüsselmoment für die Einführung dieses Ideenkreises bezeichnet. Die klassischen Typen des Riemann-Roch-Theorems werden in dem Fall gefunden, in dem S ein einzelner Punkt ist (d. H. Das letzte Objekt in der Arbeitskategorie C ). Die Verwendung von anderen S ist eine Möglichkeit, Versionen von Theoremen 'mit Parametern' zu haben, d. H. Kontinuierliche Variationen zuzulassen, für die die 'eingefrorene' Version die Parameter auf Konstanten reduziert.

In anderen Anwendungen wurde diese Denkweise in der Topos-Theorie verwendet, um die Rolle der Mengenlehre in grundlegenden Fragen zu klären. Angenommen, wir haben keine Verpflichtung zu einer 'Mengenlehre' (alle Toposen sind in gewissem Sinne gleichermaßen festgelegte Theorien für eine intuitionistische Logik), ist es möglich, alles relativ zu einer gegebenen Mengenlehre zu sagen, die als Basis-Topos fungiert.

Siehe auch [ edit ]

Referenzen [ edit