In der Mathematik der Poincaré-Hopf-Theorem (auch bekannt als Poincaré-Hopf-Indexformel Poincaré-Hopf-Indextheorem oder Der Hopf-Indexsatz ) ist ein wichtiger Satz, der in der Differentialtopologie verwendet wird. Es ist nach Henri Poincaré und Heinz Hopf benannt.
Der Satz von Poincaré-Hopf ist häufig veranschaulicht durch den speziellen Fall des Behaart-Ball-Theorems, der einfach besagt, dass es auf einer Kugel, die keine Quellen oder Senken hat, kein glattes Vektorfeld gibt.
Formale Erklärung [ edit ]
Es sei M ein differenzierbarer Mann mit der Dimension n und v ein Vektorfeld auf M . Angenommen, x ist eine isolierte Nullstelle von v und einige lokale Koordinaten werden in der Nähe von x festgelegt. Wählen Sie einen geschlossenen Ball D zentriert um x so dass x die einzige Nullstelle von v in in D . Dann definieren wir den Index von v in x Index x ( v ), um den Grad der Karte zu bestimmen. u : ∂ D → S n-1 von der Grenze von D bis ( n -1 ) -Kugel gegeben durch u ( z ) = v ( z ) / | v ( z ) |
Satz. Sei M eine kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit. Sei v ein Vektorfeld auf M mit isolierten Nullen. Wenn M eine Grenze hat, dann bestehen wir darauf, dass v in die nach außen normale Richtung entlang der Grenze zeigen. Dann haben wir die Formel
wobei die Summe der Indizes über allen isolierten Nullen von v liegt und ist die Euler-Charakteristik von M . Eine besonders nützliche Folgerung ist, wenn es ein nicht verschwindendes Vektorfeld gibt, das die Euler-Charakteristik 0 impliziert.
Der Satz wurde von Henri Poincaré für zwei Dimensionen bewiesen und später von Heinz Hopf zu höheren Dimensionen verallgemeinert.
Bedeutung [ edit ]
Die Euler-Charakteristik einer geschlossenen Fläche ist ein rein topologisches Konzept, während der Index eines Vektorfeldes rein analytisch ist. Somit stellt dieser Satz eine tiefe Verbindung zwischen zwei scheinbar unzusammenhängenden Bereichen der Mathematik her. Es ist vielleicht ebenso interessant, dass der Beweis dieses Theorems stark von der Integration abhängt, und insbesondere von Stokes 'Theorem, der besagt, dass das Integral der äußeren Ableitung einer Differentialform gleich dem Integral dieser Form über der Grenze ist. Im Sonderfall einer Mannigfaltigkeit ohne Grenze bedeutet dies, dass das Integral 0 ist. Durch die Untersuchung von Vektorfeldern in einer ausreichend kleinen Umgebung einer Quelle oder Senke sehen wir, dass Quellen und Senken ganzzahlige Beträge beitragen (bekannt als Index) ) auf die Summe, und sie müssen alle 0 sein. Dieses Ergebnis kann als betrachtet werden, von wem? eine der ersten einer ganzen Reihe von Theoremen [ [19659039] welche? tiefe Beziehungen zwischen geometrischen und analytischen oder physikalischen Begriffen herstellt. Sie spielen eine wichtige Rolle in der modernen Erforschung beider Bereiche.
Skizze des Beweises [ edit ]
1. Embed M in einem hochdimensionalen euklidischen Raum. (Verwenden Sie den Whitney-Einbettungssatz.)
2. Nehmen Sie eine kleine Nachbarschaft von M in diesem euklidischen Raum, N ε . Erweitern Sie das Vektorfeld auf diese Umgebung, sodass es immer noch die gleichen Nullen hat und die Nullen die gleichen Indizes haben. Stellen Sie außerdem sicher, dass das erweiterte Vektorfeld an der Grenze von N ε nach außen gerichtet ist.
3. Die Summe der Indizes der Nullstellen des alten (und neuen) Vektorfeldes ist gleich dem Grad der Gauß-Karte von der Grenze von N ε bis ( n.) -1) -dimensionale Kugel. Somit ist die Summe der Indizes unabhängig vom tatsächlichen Vektorfeld und hängt nur von der Mannigfaltigkeit ab M . Technik: Schneiden Sie alle Nullen des Vektorfeldes mit kleinen Nachbarn weg. Verwenden Sie dann die Tatsache, dass der Grad einer Karte von der Grenze einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit bis zu einer ( n -1) -dimensionalen -Kugel, die auf das gesamte n erweitert werden kann -dimensionale Mannigfaltigkeit ist Null.
4. Schließlich identifizieren Sie diese Summe der Indizes als Euler-Charakteristikum von M . Dazu konstruieren Sie ein sehr spezifisches Vektorfeld auf M unter Verwendung einer Triangulation von M für die klar ist, dass die Summe der Indizes der Euler-Eigenschaft entspricht.
Generalization [ edit ]
Es ist immer noch möglich, den Index für ein Vektorfeld mit nicht isolierten Nullen zu definieren. Eine Konstruktion dieses Index und die Erweiterung des Poincaré-Hopf-Theorems für Vektorfelder mit nicht isolierten Nullen wird in Abschnitt 1.1.2 (Brasselet, Seade & Suwa 2009) beschrieben.
Siehe auch [ edit ]
Referenzen [ edit
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