In der Mathematik ist eine -Ebenen-Kurve eine Kurve in einer Ebene, die entweder eine Euklidische Ebene, eine affine Ebene oder eine Projektionsebene sein kann. Die am häufigsten untersuchten Fälle sind glatte Ebenenkurven (einschließlich stückweise glatter Ebenenkurven) und algebraische Ebenenkurven.
Symbolische Darstellung [ edit ]
Eine ebene Kurve kann oft in kartesischen Koordinaten durch eine implizite Gleichung der Form dargestellt werden
für einige spezifische Funktion f . Wenn diese Gleichung explizit für y oder x gelöst werden kann, dh umgeschrieben als 
Plankurven können manchmal auch in alternativen Koordinatensystemen dargestellt werden, z Punkt in Bezug auf einen Winkel und einen Abstand vom Ursprung.
Glatte ebene Kurve [ edit ]
Eine glatte ebene Kurve ist eine Kurve in einer echten euklidischen Ebene R 2 und ist eindimensional glatte Mannigfaltigkeit. Dies bedeutet, dass eine glatte ebene Kurve eine ebene Kurve ist, die "lokal wie eine Linie aussieht", in der Hinsicht, dass sie in der Nähe jedes Punktes durch eine glatte Funktion auf eine Linie abgebildet werden kann. Äquivalent kann eine glatte ebene Kurve lokal durch eine Gleichung f ( x y ) = 0 gegeben werden, wobei f ]: R 2 → R ist eine glatte Funktion, und die partiellen Ableitungen f / x und [1945 f / ∂ y sind an einem Punkt der Kurve niemals beide 0.
Kurve der algebraischen Ebene [ edit ]
Eine Kurve der algebraischen Ebene ist eine Kurve in einer affinen oder projektiven Ebene, die durch eine Polynomialgleichung gegeben wird. f x y ) = 0 (oder F ( x y z ]) = 0 wobei F ein homogenes Polynom ist, im projektiven Fall.)
Algebraische Kurven wurden seit dem 18. Jahrhundert ausführlich untersucht.
Jede Kurve der algebraischen Ebene hat einen Grad, den Grad der Definitionsgleichung, der im Falle eines algebraisch geschlossenen Feldes gleich der Anzahl der Schnittpunkte der Kurve mit einer Linie in allgemeiner Position ist. Beispielsweise hat der Kreis, der durch die Gleichung x 2 + y 2 = 1 gegeben wird, Grad 2.
Die nicht-singulären ebenenalgebraischen Kurven von Grad 2 werden als konische Abschnitte bezeichnet, und ihre projek- tive Vervollständigung ist isomorph zur projek- tiven Vervollständigung des Kreises. x 2 + y ] 2 = 1 (das ist die projektive Kurve der Gleichung x 2 + y 2 - z 2 = 0 ). Die ebenen Kurven von Grad 3 werden kubische ebene Kurven und, wenn sie nicht singulär sind, elliptische Kurven genannt. Die mit Grad 4 werden als Viertelebenenkurven bezeichnet.
Beispiele [ edit ]
Zahlreiche Beispiele für ebene Kurven sind in der Galerie der Kurven dargestellt und unter Liste der Kurven aufgeführt. Die algebraischen Kurven von Grad 1 oder 2 sind hier dargestellt (eine algebraische Kurve mit Grad weniger als 3 ist immer in einer Ebene enthalten):
| Name | Implizite Gleichung | Parametrische Gleichung | Als Funktion | graph |
|---|---|---|---|---|
| Gerade | ||||
| Circle | ||||
| Parabola | { displaystyle (x, y) = (t, t ^ {2})} | |||
| Ellipse | ||||
| Hyperbel |
Siehe auch [ edit ]
Referenzen [ edit
- Coolidge, JL (28. April 2004), Eine Abhandlung über algebraische ebene Kurven Dover Publications, ISBN 0-486-49576-0 .
- Yates, RC (1952), Ein Handbuch über Kurven und ihre Eigenschaften JW Edwards, ASIN B0007EKXV0
- Lawrence, J. Dennis (1972), Ein Katalog spezieller Flugzeugkurven Dover, ISBN 0-486-60288-5 . Externe Links [ edit ]
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