1leonkadende: Quartische Ebene Kurve

Eine Querneigungskurve ist eine ebene algebraische Kurve vierten Grades. Sie kann durch eine bivariate Quartikgleichung definiert werden:

{displaystyle Ax^{4}+By^{4}+Cx^{3}y+Dx^{2}y^{2}+Exy^{3}+Fx^{3}+Gy^{3}+Hx^{2}y+Ixy^{2}+Jx^{2}+Ky^{2}+Lxy+Mx+Ny+P=0,}

mit mindestens einem von A, B, C, D, E ungleich Null. Diese Gleichung hat 15 Konstanten. Sie kann jedoch mit jeder Nicht-Null-Konstante multipliziert werden, ohne die Kurve zu ändern. Durch Wahl einer geeigneten Multiplikationskonstante kann somit jeder der Koeffizienten auf 1 gesetzt werden, wobei nur 14 Konstanten übrig bleiben. Daher kann der Raum der Quartikkurven mit dem realen projizierten Raum ${displaystyle mathbb {RP} ^{14}}$ . Aus Cramers Theorem über algebraische Kurven folgt auch, dass genau eine Quartikkurve eine Gruppe von 14 verschiedenen Punkten in der allgemeinen Position durchläuft, da ein Quartic 14 Freiheitsgrade hat.

Eine Quartikkurve kann maximal Folgendes aufweisen:

Man kann auch Quartikkurven über anderen Feldern (oder sogar Ringen) betrachten, beispielsweise den komplexen Zahlen. Auf diese Weise erhält man Riemann-Flächen, die über C eindimensionale Objekte sind, aber über R zweidimensional sind. Ein Beispiel ist das Klein-Quartic. Zusätzlich können Kurven in der Projektionsebene betrachtet werden, die durch homogene Polynome gegeben sind.

Beispiele [ edit ]

Verschiedene Kombinationen von Koeffizienten in der obigen Gleichung führen zu verschiedenen wichtigen Kurvenfamilien, wie nachstehend aufgeführt.

Ampersand-Kurve [ edit ]

Die Ampersand-Kurve ist eine durch die Gleichung gegebene Quantenebenen-Kurve:

{displaystyle (y^{2}-x^{2})(x-1)(2x-3)=4(x^{2}+y^{2}-2x)^{2}.}

Es hat Gattung Null, mit drei gewöhnlichen Doppelpunkten, alle in der realen Ebene. ^[1]

Bohnenkurve [ edit ]

Die Bohnenkurve ist eine Viertelebenen-Kurve mit der Gleichung:

{displaystyle x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}=x(x^{2}+y^{2}).,}

Die Bean-Kurve hat die Gattung Null. Es hat eine Singularität am Ursprung, einen gewöhnlichen Tripelpunkt. ^[2]^[3]

Bicuspid-Kurve [ edit ]

Der -bicuspid ist eine Viertelebenen-Kurve mit der Gleichung

{displaystyle (x^{2}-a^{2})(x-a)^{2}+(y^{2}-a^{2})^{2}=0,}

2 "/> = 0 { displaystyle (x ^ {2} -a ^ {2}) (xa) ^ {2} + (y ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} = 0 ,}

(x ^ {2} -a ^ {2}) (xa) ^ {2} + (y ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} = 0 , [19659068] wobei <i> a </i> die Größe der Kurve bestimmt. Der Bicuspid hat nur die beiden Knoten als Singularitäten und ist daher eine Kurve der Gattung Eins. <sup id=

[4]

Bogenkurve [ edit ]

Die -Kurvenkurve ist eine Viertelebene-Kurve mit der Gleichung

{displaystyle x^{4}=x^{2}y-y^{3}.,}

Die Bogenkurve hat einen einzigen Tripelpunkt bei x = 0, y = 0 und ist folglich eine rationale Kurve mit der Gattung Null. ^[5]

Kreuzkurve [ edit ]

Die Kreuzkurve oder ist eine durch die Gleichung gegebene Querebenen-Kurve

${displaystyle x^{2}y^{2}-b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=0,}$
wobei a und b zwei Parameter sind, die die Form der Kurve bestimmen. Die kreuzförmige Kurve ist durch eine quadratische Standardtransformation verwandt, x ↦ 1 / x y 1 / y y zur Ellipse . a ² x ² + b ² y ² = 1 und ist daher eine rationelle ebene algebraische Kurve von Gattung Null. Die kreuzförmige Kurve hat drei doppelte Punkte in der realen Projektionsebene: bei x = 0 und y = 0, x = 0 und z ] = 0 und y = 0 und z = 0. ^[6]
Da die Kurve rational ist, kann sie durch rationale Funktionen parametrisiert werden. Wenn zum Beispiel a = 1 und b = 2 ist, dann

${ Displaystyle x = - { frac {t ^ {2} -2t + 5} {t ^ {2} -2t-3}}, quad y = { frac {t ^ {2} -2t + 5} {2t-2}}$
parametrisiert die Punkte auf der Kurve außerhalb der Ausnahmefälle, in denen ein Nenner Null ist.

Spiralabschnitt [ edit ]

Spiralabschnitte können als kreisförmige, viertelkreisförmige Kurven definiert werden, die symmetrisch zu x und y sind ] Achsen. Spiralabschnitte gehören zur Familie der torischen Abschnitte und umfassen die Familie der Flusspferde und die Familie der Cassini-Ovale. Der Name stammt von σπειρα und bedeutet im Altgriechischen Torus.
Die kartesische Gleichung kann als geschrieben werden

${ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ { 2} = dx ^ {2} + ey ^ {2} + f,}$
und die Gleichung in Polarkoordinaten als

${displaystyle r^{4}=dr^{2}cos ^{2}theta +er^{2}sin ^{2}theta +f.,}$

Dreiblattklee [ edit ]

Der Dreiblattkleeblatt ist das Vierteln ebene Kurve

$0$
Durch Lösen nach und kann die Kurve durch die folgende Funktion beschrieben werden:

${19459060] sqrt { frac {-2x ^ {2} -3x pm { sqrt {16x ^ {3} + 9x ^ {2}}}} {2}}},}$
wo die beiden Erscheinungen von ± unabhängig voneinander sind und bis zu vier verschiedene Werte von und für jeweils x ergeben.
Die parametrische Gleichung von dreiblättrigem Kleeblatt lautet

${displaystyle x=cos(3t)cos t,quad y=cos(3t)sin t.,}$ [7]

In Polarkoordinaten ( x = r cos φ, y = r sin φ) die Gleichung ist

${displaystyle r=cos(3varphi ).,}$
Es handelt sich um einen Sonderfall von Rosenkurve mit k = 3. Diese Kurve hat einen Dreifachpunkt am Ursprung (0, 0) und drei Doppeltangenten.

Referenzen [ edit ]

^ Weisstein, Eric W. "Ampersand Curve". MathWorld .

^ Cundy, H. Martyn; Rollett, A.P. (1961) [1952] Mathematische Modelle (2. Auflage), Clarendon Press, Oxford, p. 72, ISBN 978-0-906212-20-2, MR 0124167

^ Weisstein, Eric W. "Bean Curve". MathWorld .

^ Weisstein, Eric W. "Bicuspid Curve". MathWorld .

^ Weisstein, Eric W. "Bow". MathWorld .

^ Weisstein, Eric W. "Cruciform Curve". MathWorld .

^ Gibson, CG, Elementary Geometry of Algebraic Curves, ein Grundstudium Cambridge University Press, Cambridge, 2001, ISBN 978-0 -521-64641-3. Seiten 12 und 78.