Kernraum - Wikipedia

Typ des topologischen Vektorraums

In der Mathematik ist ein Kernraum ein topologischer Vektorraum mit vielen guten Eigenschaften von endlichdimensionalen Vektorräumen. Die Topologie auf ihnen kann durch eine Familie von Seminaren definiert werden, deren Einheitskugeln rasch an Größe abnehmen. Vektorräume, deren Elemente in gewissem Sinne "glatt" sind, neigen dazu, Kernräume zu sein; Ein typisches Beispiel für einen Nuklearraum sind die reibungslosen Funktionen eines kompakten Verteilers.

Alle endlichdimensionalen Vektorräume sind nuklear (da jeder Operator in einem endlichdimensionalen Vektorraum nuklear ist). Es gibt keine Banach-Räume, die nuklear sind, außer den endlichdimensionalen. In der Praxis ist eine Art Umkehrung davon häufig richtig: Wenn ein "natürlich vorkommender" topologischer Vektorraum kein Banachenraum ist, dann besteht eine gute Chance, dass er nuklear ist.

Ein Großteil der Theorie der Kernräume wurde von Alexander Grothendieck während der Untersuchung des Schwartz-Kernsatzes entwickelt und in (Grothendieck 1955) veröffentlicht.

Definition [ edit ]

Dieser Abschnitt listet einige der gebräuchlichsten Definitionen eines Nuklearraums auf. Die folgenden Definitionen sind alle gleichwertig. Beachten Sie, dass einige Autoren eine restriktivere Definition eines Nuklearraums verwenden, indem Sie die Bedingung hinzufügen, dass der Raum Fréchet sein sollte. (Dies bedeutet, dass der Raum vollständig ist und die Topologie von einer zählbaren -Semmerfamilie angegeben wird.)

Wir beginnen mit einem Hintergrund. Ein lokal konvexer topologischer Vektorraum V hat eine Topologie, die durch eine Familie von Seminaren definiert wird. Bei jedem Seminar ist die Einheitskugel eine geschlossene konvexe symmetrische Umgebung von 0, und umgekehrt ist jede geschlossene konvexe symmetrische Umgebung von 0 die Einheitskugel eines Seminaranten. (Bei komplexen Vektorräumen sollte die Bedingung "symmetrisch" durch "ausgeglichen" ersetzt werden.) Wenn p ein Seminar auf V ist, schreiben wir V _p für den Banachraum, der durch das Absolvieren von V unter Verwendung des Seminars gegeben wird p . Es gibt eine natürliche Karte von V bis V _p (nicht notwendigerweise injektiv).

Wenn q ein anderes Seminar ist, das größer als p ist (punktweise als Funktion von V ), dann gibt es eine natürliche Karte von V _q bis V _p so dass die erste Karte als V → V _q → V gilt _p . Diese Karten sind immer kontinuierlich. Der Weltraum V ist nuklear, wenn ein stärkerer Zustand vorliegt, nämlich dass diese Karten nukleare Betreiber sind. Die Bedingung, ein nuklearer Operator zu sein, ist subtil, und weitere Einzelheiten sind im entsprechenden Artikel enthalten.

Definition 1 : Ein nuklearer Raum ist ein lokal konvexer topologischer Vektorraum, so dass für jedes Seminar p ein größeres Seminar gefunden werden kann so dass die natürliche Karte von V _q bis V _p 19659009] nuklear ist.

Informell bedeutet dies, dass wir immer dann, wenn wir den Einheitsball eines Seminorm gegeben haben, einen "viel kleineren" Einheitsball eines anderen Seminorm darin finden können oder dass jede Umgebung von 0 eine "viel kleinere" Nachbarschaft enthält. Es ist nicht notwendig, diese Bedingung für alle Seminare zu überprüfen p ; Es reicht aus, wenn Sie nach einer Reihe von Seminaren suchen, die die Topologie generieren, dh einer Reihe von Seminaren, die eine Unterlage für die Topologie bilden.

Statt willkürliche Banach-Felder und Atomoperatoren zu verwenden, können wir eine Definition in Hilbert-Räumen und leicht verständlicheren Trace-Klassenoperatoren geben. (In Hilbert-Räumen werden Nuklearoperatoren häufig als Spurklassenoperatoren bezeichnet.) Wir werden sagen, dass ein Seminar p ein Hilbert-Seminar ist, wenn V _p ein Hilbert-Raum ist, oder entsprechend, wenn p . stammt aus einer sesquilinearen positiven semidefiniten Form auf V .

Definition 2 : Ein nuklearer Raum ist ein topologischer Vektorraum mit einer Topologie, die von einer Familie von Hilbert-Seminaren definiert wird, so dass für jedes Hilbert-Seminar p Wir können einen größeren Hilbert-Seminar q finden, so dass die natürliche Karte aus V _q bis V _p Spurklasse ist.

Einige Autoren bevorzugen die Verwendung von Hilbert-Schmidt-Operatoren anstelle von Trace-Klassenoperatoren. Dies macht kaum einen Unterschied, da jeder Trace-Klassenoperator Hilbert-Schmidt ist und das Produkt zweier Hilbert-Schmidt-Operatoren eine Traceklasse ist.

Definition 3 : Ein nuklearer Raum ist ein topologischer Vektorraum mit einer von einer Familie von Hilbert-Seminaren definierten Topologie, so dass für jedes Hilbert-Seminar p Wir finden einen größeren Hilbert-Seminar q so dass die natürliche Karte von V _q bis V _p Hilbert-Schmidt ist.

Wenn wir bereit sind, das Konzept eines nuklearen Operators von einem beliebigen lokal konvexen topologischen Vektorraum zu einem Banachraum zu verwenden, können wir folgende kürzere Definitionen geben:

Definition 4 : Ein nuklearer Raum ist ein lokal konvexer topologischer Vektorraum, so dass für jedes Seminar die natürliche Karte von V ist ] bis V _p ist nuklear.

Definition 5 : Ein nuklearer Raum ist ein lokal konvexer topologischer Vektorraum, bei dem jede durchgehende lineare Karte eines Banachraums nuklear ist.

Grothendieck verwendete eine ähnliche Definition wie die folgende:

Definition 6 : Ein nuklearer Raum ist ein lokal konvexer topologischer Vektorraum A der für jeden lokal konvexen topologischen Vektorraum B ] Die natürliche Karte vom projektiven zum injektiven Tensorprodukt von A und B ist ein Isomorphismus.

Tatsächlich genügt es, dies nur für Banach-Räume zu überprüfen B oder auch nur für den einzelnen Banach-Raum ¹ absolut konvergenter Serien.

Beispiele [ edit ]

• Ein einfaches unendlich dimensionales Beispiel für einen nuklearen Raum ist der Raum aller schnell abnehmenden Sequenzen c = ( c). 19659046] 1 c ₂ ...). ("Schnell abnehmend" bedeutet, dass c _n p ( n ) für jedes Polynom p gebunden ist.) Für jede reelle Zahl [] s können wir eine Norm definieren || | || _s von

|| c || _s = sup | c _n | n ^s

Wenn die Fertigstellung in dieser Norm C _s ist, dann gibt es eine natürliche Karte von C _s bis C _t t, wann immer s ≥ t und dies ist nuklear, wann immer s > t +1, im Wesentlichen, weil die Serie Σ n ^{t - s} dann absolut konvergent ist. Insbesondere für jede Norm || · || _t finden wir eine andere Norm, beispielsweise || · || _{t +2} . so dass die Karte von C _{t +2} bis C _t nuklear ist. Der Raum ist also nuklear.

• Der Raum glatter Funktionen auf einem kompakten Verteiler ist nuklear.
• Der Schwartz-Raum glatter Funktionen auf ${ displaystyle mathbf {R} ^ {n}} [19659076] { mathbf {R}} ^ {n} "/>$ bei dem die Ableitungen aller Ordnungen rapide abnehmen, ist ein nuklearer Raum.
• Der Raum ganzer holomorpher Funktionen auf der komplexen Ebene ist nuklear.
• Die induktive Grenze einer Folge nuklearer Räume ist nuklear.
• Das starke Dual eines nuklearen Fréchet-Raums ist nuklear.
• Das Produkt einer Familie nuklearer Räume ist nuklear.
• Die Vollendung eines nuklearen Raums ist nuklear (und in der Tat ist ein Raum nur dann nuklear, wenn seine Fertigstellung nuklear ist).
• Das Tensorprodukt zweier nuklearer Räume ist nuklear.

Eigenschaften [

] Nukleare Räume sind in vielerlei Hinsicht den endlichdimensionalen Räumen ähnlich und haben viele ihrer guten Eigenschaften.

• Ein lokal konvexer Hausdorff-Raum ist nuklear und nur dann nuklear, wenn seine Fertigstellung nuklear ist.
• Ein Fréchet-Raum ist nuklear und nur dann, wenn sein starkes Dual nuklear ist.
• sich daran erinnern, dass ein Satz vorkompakt ist, wenn sein Abschluss bei der Fertigstellung des Raums kompakt ist). Dies ist analog zu dem Heine-Borel-Theorem.
• Wenn X ein quasi vollständiger (dh alle geschlossenen und begrenzten Teilmengen sind vollständig), ist der Kernraum X der Heine- Borel-Liegenschaft.
• Ein quasi vollständiger atomarer Kernraum ist ein Montel-Raum.
• Jede geschlossene gleichwertige durchgängige Teilmenge des Dualen eines Kernraums ist eine kompakte metrisierbare Menge (für die starke Doppeltopologie).
• Jeder Kern Der Raum ist ein Unterraum eines Produkts von Hilbert-Räumen.
• Jeder nukleare Raum hat eine Basis von Seminaren, die aus Hilbert-Normen bestehen.
• Jeder nukleare Raum ist ein Schwartz-Raum.
• Jeder nukleare Raum besitzt die Approximationseigenschaft. ^[1]
• Jeder Unterraum und jeder Quotientenraum durch einen geschlossenen Unterraum eines Nuklearraums ist nuklear.
• Wenn A nuklear ist und B ist einen lokal konvexen topologischen Vektorraum, dann die natürliche Karte aus dem projektiven Tensor pr Das Produkt von A und B des injektiven Tensorprodukts ist ein Isomorphismus. Grob gesagt bedeutet dies, dass es nur einen sinnvollen Weg gibt, das Tensorprodukt zu definieren. Diese Eigenschaft charakterisiert nukleare Räume A .
• In der Theorie der Messungen an topologischen Vektorräumen heißt es in einem grundlegenden Theorem, dass sich jedes kontinuierliche Zylindersatzmaß auf dem Dual eines nuklearen Fréchet-Raums automatisch auf ein Radon-Maß erstreckt . Dies ist nützlich, weil es oft einfach ist, Zylindersets auf topologischen Vektorräumen zu konstruieren, diese sind jedoch für die meisten Anwendungen nicht ausreichend, wenn es sich nicht um Radon-Maße handelt (zum Beispiel sind sie überhaupt nicht abschätzbar additiv).

Bochner –Minlos Theorem [ edit ]

Eine durchgehende Funktion C auf einem Nuklearraum A wird als bezeichnet. if C (0) = 1 und für irgendeinen Komplex ${ displaystyle z_ {j}}$ und ${ displaystyle x_ {j} in A}$ j k = 1, ..., n ,

Gegeben eine charakteristische Funktion auf einem nuklearen Raum A der Bochner-Minlos-Theorem (nach Salomon Bochner und Robert Adol&#39;fovich Minlos) garantiert die Existenz und Eindeutigkeit des entsprechenden Wahrscheinlichkeitsmaßes ${\displaystyle \mathrm{\mu \; <!--\; \mu \; -->\; 19659112]\; \{\; displaystyle\; mu\}}}$ über den doppelten Raum ${ displaystyle A&#39;}$gegeben durch

${ displaystyle H_ {k}}$