Berechenbare Funktion - Wikipedia

Berechenbare Funktionen sind die grundlegenden Untersuchungsgegenstände der Berechenbarkeitstheorie. Berechnungsfähige Funktionen sind das formalisierte Analogon des intuitiven Begriffs des Algorithmus in dem Sinne, dass eine Funktion berechenbar ist, wenn ein Algorithmus vorhanden ist, der die Funktion der Funktion ausführen kann, d. H., Wenn eine Eingabe der Funktionsdomäne gegeben ist, kann sie die entsprechende Ausgabe zurückgeben. Mit berechenbaren Funktionen wird die Berechenbarkeit diskutiert, ohne auf ein konkretes Berechnungsmodell wie Turingmaschinen oder Registermaschinen Bezug zu nehmen. Jede Definition muss sich jedoch auf ein bestimmtes Berechnungsmodell beziehen, aber alle gültigen Definitionen ergeben dieselbe Klasse von Funktionen. Bestimmte Modelle der Berechenbarkeit, die zu einer Menge berechenbarer Funktionen führen, sind die Turing-berechenbaren Funktionen und die μ-rekursiven Funktionen.

Vor der genauen Definition der berechenbaren Funktion verwendeten Mathematiker häufig den informellen Begriff effektiv berechenbar . Dieser Begriff wird seither mit den berechenbaren Funktionen identifiziert. Man beachte, dass die effektive Berechenbarkeit dieser Funktionen nicht impliziert, dass sie effizient berechnet werden können (d. H. Innerhalb einer angemessenen Zeitspanne berechnet werden). Tatsächlich kann für einige effektiv berechenbare Funktionen gezeigt werden, dass jeder Algorithmus, der sie berechnet, sehr ineffizient ist in dem Sinne, dass die Laufzeit des Algorithmus exponentiell (oder sogar überexponential) mit der Länge der Eingabe zunimmt. Die Bereiche realisierbarer Berechenbarkeit und rechnerischer Komplexität untersuchen Funktionen, die effizient berechnet werden können.

Nach der Church-Turing-These sind berechenbare Funktionen genau die Funktionen, die mit einem mechanischen Rechengerät bei unbegrenztem Zeit- und Speicherplatz berechnet werden können. Äquivalent dazu heißt es in dieser Arbeit, dass eine Funktion genau dann berechenbar ist, wenn sie einen Algorithmus hat. Es ist zu beachten, dass ein Algorithmus in diesem Sinne eine Abfolge von Schritten ist, die eine Person mit unbegrenzter Zeit und unbegrenztem Vorrat an Stift und Papier ausführen kann.

Die Blum-Axiome können verwendet werden, um eine abstrakte rechnerische Komplexitätstheorie über die Menge der berechenbaren Funktionen zu definieren. In der Theorie der rechnerischen Komplexität ist das Problem der Bestimmung der Komplexität einer berechenbaren Funktion als Funktionsproblem bekannt.

Definition [ edit ]

Die Berechenbarkeit einer Funktion ist eine informelle Vorstellung. Eine Möglichkeit, es zu beschreiben, besteht darin, zu sagen, dass eine Funktion berechenbar ist, wenn ihr Wert durch ein effektives Verfahren erhalten werden kann. Mit mehr Strenge eine Funktion ${ displaystyle f: mathbb {N} ^ {k} rightarrow mathbb {N}}$ ist genau dann und nur dann berechenbar, wenn es ein wirksames Verfahren gibt, das k angibt ] -tuple ${\displaystyle \mathbf{x}}$ aus natürlichen Zahlen, ergibt den Wert ${ displaystyle f ( mathbf {x})}$. ^[1] In Übereinstimmung mit dieser Definition geht der Rest dieses Artikels davon aus berechenbare Funktionen nehmen endlich viele natürliche Zahlen als Argumente an und erzeugen einen Wert, der eine einzelne natürliche Zahl ist.

Als Gegenstücke zu dieser informellen Beschreibung existieren mehrere formale mathematische Definitionen. Die Klasse der berechenbaren Funktionen kann in vielen gleichwertigen Berechnungsmodellen definiert werden, einschließlich

Obwohl diese Modelle unterschiedliche Repräsentationen für die Funktionen, ihre Eingaben und ihre Ausgaben verwenden, gibt es zwischen zwei beliebigen Modellen Übersetzungen. Daher beschreibt jedes Modell im Wesentlichen die gleiche Klasse von Funktionen, woraus sich die Meinung ergibt, dass formale Berechenbarkeit sowohl natürlich als auch natürlich ist nicht zu eng. ^[2]

Zum Beispiel kann man berechenbare Funktionen als μ-rekursive Funktionen formalisieren, bei denen es sich um Teilfunktionen handelt, die endliche Tupel natürlicher Zahlen annehmen und eine einzige natürliche Zahl zurückgeben (ebenso wie über). Sie sind die kleinste Klasse von Teilfunktionen, die die Konstanten-, Nachfolger- und Projektionsfunktionen enthalten und unter Komposition, primitiver Rekursion und dem μ-Operator geschlossen sind.

Gleichermaßen können berechenbare Funktionen als Funktionen formalisiert werden, die von einem idealisierten Berechnungsagenten berechnet werden können, beispielsweise einer Turing-Maschine oder einer Registermaschine. Formal gesehen eine Teilfunktion $N { displaystyle f: mathbb {N} ^ {k} rightarrow mathbb {N}}$ kann genau dann berechnet werden, wenn ein Computerprogramm mit den folgenden Eigenschaften vorhanden ist:

1. Wenn ${ displaystyle f ( mathbf {x})}$ ist definiert ist, wird das Programm mit der Eingabe ${ displaystyle mathbf {x}}$ mit dem Wert ${ displaystyle f ( mathbf {x})}$ im Computerspeicher abgelegt. ${ displaystyle mathbf {x}}$