In der Lie-Theorie und Repräsentationstheorie wird in der Levi-Zerlegung die von Wilhelm Killing [1] und Elie Cartan [2] vermutet und von Eugenio Elia Levi (1905) vermutet wird, festgestellt, dass jeder endlich-dimensionale Real gilt Lie Algebra g ist das semidirekte Produkt eines lösbaren Ideals und einer semi-einfachen Subalgebra. Die eine ist ihre -Radikal ein maximal lösbares Ideal, und die andere ist eine semi-einfache Subalgebra, die als Levi-Subalgebra bezeichnet wird. Die Levi-Zerlegung impliziert, dass jede endlich-dimensionale Lie-Algebra ein semidirektes Produkt einer lösbaren Lie-Algebra und einer halb-einfachen Lie-Algebra ist.
Bei der Betrachtung als eine Faktoralgebra von g wird diese halbeinfache Lie-Algebra auch als Levi-Faktor von g bezeichnet.
Darüber hinaus zeigte Malcev (1942), dass zwei Levi-Subalgebren durch einen (inneren) Automorphismus der Form konjugiert sind
wobei z im nilradical () Levi ist –Malcev-Theorem ).
Application [ edit ]
Bis zu einem gewissen Grad kann die Zerlegung verwendet werden, um Probleme mit endlich-dimensionalen Lie-Algebren und Lie-Gruppen zu reduzieren, um Probleme mit Lie-Algebren in diesen beiden zu trennen Sonderklassen, lösbar und halb einfach.
Erweiterungen der Ergebnisse [ edit ]
In der Darstellungstheorie ist eine Levi-Zerlegung parabolischer Untergruppen einer reduktiven Gruppe erforderlich, um eine große Familie der sogenannten parabolisch induzierten Repräsentationen aufzubauen . Die Langlands-Zerlegung ist eine geringfügige Verfeinerung der Levi-Zerlegung für parabolische Untergruppen, die in diesem Zusammenhang verwendet werden.
Analoge Aussagen gelten für einfach verbundene Lie-Gruppen und, wie George Mostow zeigt, für algebraische Lie-Algebren und einfach verbundene algebraische Gruppen über ein Feld mit charakteristischem Nullpunkt.
Es gibt kein Analogon der Levi-Zerlegung für die meisten unendlich-dimensionalen Lie-Algebren; Zum Beispiel haben affine Lie-Algebren ein Radikal, das aus ihrem Zentrum besteht, aber nicht als semidirektes Produkt des Zentrums und einer anderen Lie-Algebra geschrieben werden kann. Die Levi-Zerlegung scheitert auch für endlich dimensionale Algebren über Felder mit positiver Charakteristik.
Siehe auch [ edit ]
Referenzen [ edit ]
- Jacobson, Nathan, (1979). Lie Algebren . New York: Dover. ISBN 0486638324. OCLC 6499793.
- Levi, Eugenio Elia (1905), "Sulla struttura dei gruppi finiti e continui", Atti della Reale Accademia delle Scienze di Torino. (auf Italienisch), XL : 551–565, JFM 36.0217.02, archiviert vom Original am 5. März 2009 Nachgedruckt in: Opere Vol. 1, Edizione Cremonese, Rom (1959), p. 101.
- Maltsev, Anatoly I. (1942), "Über die Darstellung einer Algebra als direkte Summe der radikalen und einer semi-einfachen Subalgebra", C. R. (Doklady) Acad. Sci. URSS (NS) 36 : 42–45, MR 0007397, Zbl 0060.08004 .
Externe Links [ ] W. Killing (1888). "Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen". Mathematische Annalen . 31 : 252–290. ^ Cartan, Élie (1894), Über die Struktur der Transformationsgruppen finis et continus These, Nony
No comments:
Post a Comment