1leonkadende

Das Lemniskate von Bernoulli und seine zwei Brennpunkte

In algebraischer Geometrie ist ein Lemniskate eine von mehreren mit Acht oder geformten Kurven. ^[1]^[2] Das Wort kommt aus dem Lateinischen "lēmniscātus", was "mit Bändern verziert" bedeutet, aus dem Griechischen λημνίσκος, was "Bänder" bedeutet, ^[2] oder das sich alternativ auf die Wolle beziehen kann, aus der die Bänder hergestellt wurden. ^[1]

Kurven, die als a bezeichnet wurden Lemniskate umfasst drei Viertelebenen-Kurven: das Flusspferd oder die Lemniskate von Booth, die Lemniskate von Bernoulli und die Lemniskate von Gerono. Das Studium der Lemniskate (und insbesondere des Nilpferds) stammt aus der antiken griechischen Mathematik, aber der Begriff "Lemniskate" für Kurven dieser Art stammt aus dem Werk von Jacob Bernoulli im späten 17. Jahrhundert.

Geschichte und Beispiele [ edit ]

Lemniscate of Booth [ edit ]

Die Betrachtung von Kurven mit einer Acht-Form kann zurückführen auf Proclus, einen griechischen Neuplatoniker und Mathematiker, der im 5. Jahrhundert nach Christus lebte. Proclus betrachtete die Querschnitte eines Torus durch eine zur Achse des Torus parallele Ebene. Wie er feststellte, besteht der Querschnitt für die meisten dieser Abschnitte entweder aus einem oder zwei Ovalen; Wenn sich die Ebene jedoch an der Innenfläche des Torus befindet, nimmt der Querschnitt eine Achtform an, die Proclus Pferdefessel genannt hat (eine Vorrichtung zum Zusammenhalten von zwei Füßen eines Pferdes) oder "Hippopede". in Griechenland. Der Name "Lemniskate of Booth" für diese Kurve stammt von James Booths Mathematiker aus dem 19. Jahrhundert. ^[1]

Die Lemniskate kann als algebraische Kurve definiert werden, der Nullsatz des quartalen Polynoms ${displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-cx^{2}-dy^{2}}$ wenn der Parameter d negativ ist. Für positive Werte von d erhält man stattdessen das -Ooval von Booth.

Lemniscate of Bernoulli [ edit ]

1680 untersuchte Cassini eine Kurvenfamilie, die jetzt als Cassini-Oval bezeichnet wird, wie folgt definiert: der Ort aller Punkte, das Produkt von deren Abstände von zwei festen Punkten, den Brennpunkten der Kurven, eine Konstante sind. Unter ganz besonderen Umständen (wenn der halbe Abstand zwischen den Punkten gleich der Quadratwurzel der Konstante ist), entsteht eine Lemniskate.

1694 untersuchte Johann Bernoulli den Lemniskatenfall des Cassini-Ovals, der jetzt als Lemniskate von Bernoulli (oben abgebildet) bekannt ist, im Zusammenhang mit einem Problem von Isochronen, das zuvor von Leibniz gestellt worden war. Wie das Nilpferd ist es eine algebraische Kurve, der Nullsatz des Polynoms ${displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2a^{2}(x^{2}-y^{2})}$ . Bernoullis Bruder Jacob Bernoulli studierte im selben Jahr dieselbe Kurve und gab ihr den Namen Lemniskate. ^[3] Sie kann auch geometrisch als Ort der Punkte definiert werden, deren Produkt der Entfernungen von zwei Brennpunkten dem Quadrat der Hälfte entspricht Grenzabstand. ^[4] Es ist ein Sonderfall des Flusspferdes (Lemniskate of Booth) mit ${ displaystyle d = -c}$ und kann als Querschnitt eines Torus ausgebildet sein, dessen Innenloch und kreisförmige Querschnitte den gleichen Durchmesser haben. ^[1] Die lemniskatischen elliptischen Funktionen sind Analoga trigonometrischer Funktionen für Die Lemniskate von Bernoulli und die Lemniskate-Konstanten entstehen bei der Bewertung der Bogenlänge dieser Lemniskate.