Kategorie (Mathematik) - Wikipedia

Dies ist eine Kategorie mit einer Sammlung von Objekten A, B, C und einer Sammlung von Morphismen, bezeichnet mit f, g, g ∘ f und die Schleifen sind die Identitätspfeile. Diese Kategorie wird typischerweise durch ein Fettdruck 3 gekennzeichnet.

In der Mathematik eine Kategorie (manchmal als abstrakte Kategorie bezeichnet, um sie von einer konkreten Kategorie zu unterscheiden) ist eine Sammlung von "Objekten", die durch "Pfeile" verbunden sind. Eine Kategorie verfügt über zwei grundlegende Eigenschaften: die Fähigkeit, die Pfeile assoziativ zusammenzustellen, und das Vorhandensein eines Identitätspfeils für jedes Objekt. Ein einfaches Beispiel ist die Kategorie von Sets, deren Objekte Sets sind und deren Pfeile Funktionen sind.

Kategorientheorie ist ein Zweig der Mathematik, der versucht, die gesamte Mathematik in Kategorien zu verallgemeinern, unabhängig davon, was ihre Objekte und Pfeile darstellen. Praktisch jeder Zweig der modernen Mathematik kann anhand von Kategorien beschrieben werden. Dabei werden oft tiefe Einsichten und Ähnlichkeiten zwischen scheinbar unterschiedlichen Bereichen der Mathematik offenbart. Somit bietet die Kategorientheorie eine alternative Grundlage für die Mathematik, um die Theorie und andere vorgeschlagene axiomatische Grundlagen festzulegen. Im Allgemeinen können die Objekte und Pfeile abstrakte Entitäten jeglicher Art sein, und der Begriff der Kategorie bietet eine grundlegende und abstrakte Möglichkeit, mathematische Entitäten und ihre Beziehungen zu beschreiben.

Neben der Formalisierung der Mathematik wird die Kategorientheorie auch zur Formalisierung vieler anderer Systeme in der Informatik verwendet, beispielsweise der Semantik von Programmiersprachen.

Zwei Kategorien sind die gleichen, wenn sie dieselbe Objektkollektion, dieselbe Pfeilsammlung und dieselbe assoziative Methode zum Zusammensetzen eines Paares von Pfeilen haben. Zwei verschiedene Kategorien können für Zwecke der Kategorientheorie auch als "äquivalent" angesehen werden, selbst wenn sie nicht genau die gleiche Struktur haben.

Bekannte Kategorien werden durch ein kurzes, großgeschriebenes Wort oder eine Abkürzung in Fett- oder Kursivschrift gekennzeichnet. Beispiele sind Set die Kategorie von Sets und Setfunktionen; Ring die Kategorie der Ringe und Ringhomomorphismen; und Top die Kategorie topologischer Räume und zusammenhängender Karten. Alle vorhergehenden Kategorien haben die Identitätskarte als Identitätspfeil und die Komposition als assoziative Operation für Pfeile.

Der klassische und immer noch häufig verwendete Text zur Kategorietheorie ist Kategorien für den Arbeitsmathematiker von Saunders Mac Lane. Andere Referenzen sind in den nachstehenden Referenzen angegeben. Die grundlegenden Definitionen in diesem Artikel sind in den ersten Kapiteln dieser Bücher enthalten.

Jedes Monoid kann als eine spezielle Art von Kategorie verstanden werden (mit einem einzelnen Objekt, dessen Selbstmorphismen durch die Elemente des Monoids repräsentiert werden), ebenso wie jede Vorordnung.

Geschichte [ edit ]

Die Kategorientheorie erschien zuerst in einem Papier mit dem Titel "Allgemeine Theorie der natürlichen Äquivalenzen", das von Samuel Eilenberg und Saunders Mac Lane im Jahre 1945 geschrieben wurde. ^[1]

Definition [ edit ]

Es gibt viele äquivalente Definitionen einer Kategorie. ^[2] Eine häufig verwendete Definition ist wie folgt. Eine Kategorie von C besteht aus

• eine Klasse ob ( C ) von Objekten
• eine Klasse hom ( C ) von Morphismen oder arrows oder Karten zwischen den Objekten. Jeder Morphismus f hat ein Quellobjekt a und ein Zielobjekt b wobei a und b b in 19459014 sind ( C ). Wir schreiben f : a → b und wir sagen " f ist ein Morphismus von a bis . b ". Wir schreiben hom ( a b ) (oder hom _C ( a b ), wenn dies möglich ist verwirrt sein, auf welche Kategorie hom ( a b ) verwiesen wird, um die hom-Klasse aller Morphismen von a zu bezeichnen b . (Einige Autoren schreiben Mor (19459013] a b ) oder einfach C ( a b ).
• für je drei Objekte a b und c eine binäre Operation hom ( a b ) × hom ( b c ) → hom ( a c ) genannt Zusammensetzung der Morphismen ]; die Zusammensetzung von f : a → b und g : b → c geschrieben als g [1945 f oder gf . (Einige Autoren verwenden "diagrammatic order", f; g oder fg .)

so dass die folgenden Axiome gelten:

• (Assoziativität) if f : a → b g : b → c und h : c → d dann h ( g f ) = ( h ∘ g ) ∘ f und
• (Identität) für jedes Objekt x existiert ein Morphismus 1 _x : x → x (einige Autoren schreiben id _x ) als bezeichnet Identitätsmorphismus für x so dass für jeden Morphismus f : a → x und jeder Morphismus g : : ] x → b wir haben 1 _x [1945 f = f und g 1 _x = g .

Aus diesen Axiomen kann man beweisen, dass es genau eine Identität morphism für jedes Objekt. Einige Autoren verwenden eine geringfügige Variation der Definition, bei der jedes Objekt mit dem entsprechenden Identitätsmorphismus identifiziert wird.

Kleine und große Kategorien [ edit ]

Eine Kategorie C wird als bezeichnet, wenn beide ob [ C ]) und hom ( C ) sind eigentlich Sets und keine richtigen Klassen und large ansonsten. Eine lokal kleine Kategorie ist eine solche Kategorie, dass für alle Objekte a und b die Hom-Klasse hom ( a ist ] b ) ist eine Gruppe, die als Homset bezeichnet wird. Viele wichtige Kategorien in der Mathematik (wie etwa die Kategorie von Mengen) sind, obwohl nicht klein, zumindest lokal klein. Da in kleinen Kategorien die Objekte eine Menge bilden, kann eine kleine Kategorie als algebraische Struktur betrachtet werden, die einer Gruppe ähnlich ist, ohne dass inverse oder schließende Eigenschaften erforderlich sind. Andererseits können große Kategorien verwendet werden, um "Strukturen" algebraischer Strukturen zu erstellen.

Beispiele [ edit ]

Die Klasse aller Mengen (als Objekte) zusammen mit allen Funktionen dazwischen (als Morphismen), wobei die Zusammensetzung der Morphismen die übliche Funktionszusammensetzung ist. bildet eine große Kategorie, Set . Es ist die grundlegendste und die am häufigsten verwendete Kategorie in der Mathematik. Die Kategorie Rel besteht aus allen Mengen (als Objekten) mit binären Beziehungen zwischen ihnen (als Morphismen). Das Abstrahieren von Beziehungen anstelle von Funktionen führt zu Allegorien, einer besonderen Kategorie von Kategorien.

Jede Klasse kann als eine Kategorie betrachtet werden, deren einzige Morphismen die Identitätsmorphismen sind. Solche Kategorien werden als diskret bezeichnet. Für jedes gegebene Set I ist die diskrete Kategorie von I die kleine Kategorie, die die Elemente von I als Objekte und nur die Identitätsmorphismen als Morphismen enthält. Diskrete Kategorien sind die einfachsten Kategorien.

Jedes vorbestellte Set ( P ≤) bildet eine kleine Kategorie, in der die Objekte die Mitglieder von P sind. Die Morphismen sind aus x . y wenn x ≤ y . Wenn ≤ antisymmetrisch ist, kann zwischen zwei beliebigen Objekten höchstens ein Morphismus auftreten. Die Existenz von Identitätsmorphismen und die Zusammensetzbarkeit der Morphismen werden durch die Reflexivität und die Transitivität der Vorordnung garantiert. Mit demselben Argument kann jede teilweise geordnete Menge und jede Äquivalenzbeziehung als kleine Kategorie betrachtet werden. Jede Ordnungszahl kann als Kategorie betrachtet werden, wenn sie als geordnetes Set betrachtet wird.

Jedes Monoid (jede algebraische Struktur mit einer einzigen assoziativen binären Operation und einem Identitätselement) bildet eine kleine Kategorie mit einem einzigen Objekt x . (Hier ist x eine feste Menge.) Die Morphismen von x bis x sind genau die Elemente des Monoids, des Identitätsmorphismus von x ist die Identität des Monoids, und die kategoriale Zusammensetzung der Morphismen wird durch die Monoidoperation angegeben. Einige Definitionen und Sätze über Monoide können für Kategorien verallgemeinert werden.

Ebenso kann jede Gruppe als eine Kategorie mit einem einzigen Objekt betrachtet werden, in dem jeder Morphismus invertierbar ist dh für jeden Morphismus f gibt es einen Morphismus g das ist links und rechts invers zu f im Aufbau. Ein in diesem Sinne invertierbarer Morphismus wird als Isomorphismus bezeichnet.

Ein Groupoid ist eine Kategorie, in der jeder Morphismus ein Isomorphismus ist. Groupoids sind Verallgemeinerungen von Gruppen, Gruppenaktionen und Äquivalenzbeziehungen.

Jeder gerichtete Graph erzeugt eine kleine Kategorie: Die Objekte sind die Scheitelpunkte des Graphen, und die Morphismen sind die Pfade im Graphen (nach Bedarf mit Schleifen erweitert), in denen die Zusammensetzung der Morphismen die Verkettung von Pfaden ist. Eine solche Kategorie wird als freie Kategorie bezeichnet, die durch den Graphen erzeugt wird.

Die Klasse aller vorbestellten Mengen mit monotonen Funktionen als Morphismen bildet eine Kategorie, Ord . Es ist eine konkrete Kategorie, d. H. Eine Kategorie, die durch Hinzufügen einer Art von Struktur zu Set erhalten wird und erfordert, dass Morphismen Funktionen sind, die diese zusätzliche Struktur berücksichtigen.

Die Klasse aller Gruppen mit Gruppenhomomorphismen als Morphismen und Funktionszusammensetzung als Zusammensetzungsoperation bildet eine große Kategorie, Grp . Wie Ord Grp ist eine konkrete Kategorie. Die Kategorie Ab die aus allen abelschen Gruppen und ihren Gruppenhomomorphismen besteht, ist eine vollständige Unterkategorie von Grp und der Prototyp einer abelianischen Kategorie. Weitere Beispiele konkreter Kategorien sind in der folgenden Tabelle aufgeführt.

Faserbündel mit Bündelkarten bilden eine konkrete Kategorie.

Die Kategorie Cat besteht aus allen kleinen Kategorien, zwischen denen als Morphismen Funken angeordnet sind.

Bau neuer Kategorien [ edit ]

Dual-Kategorie [ ]

C C Anders als eine neue Kategorie betrachtet werden: Die Objekte sind die gleichen wie in der ursprünglichen Kategorie, die Pfeile sind jedoch umgekehrt. Dies wird als dual oder gegenüber der Kategorie bezeichnet und als C ^op bezeichnet.

Produktkategorien [ edit ]

Wenn C und D Kategorien sind, kann man die Produktkategorie bilden ] C × D : Die Objekte sind Paare, bestehend aus einem Objekt aus C und einem Objekt aus D und die Morphismen sind ebenfalls Paare, bestehend aus ein Morphismus in C und einer in D . Solche Paare können komponentenweise zusammengesetzt sein.

Arten von Morphismen [ edit ]

Ein Morphismus f : a → b b

• ein Monomorphismus (oder Monic ), wenn es linkskündbar ist, dh fg ₁ = fg
  2 [19659064] implies g ₁ = g ₂ für alle Morphismen g ₁ g

  2 _{2 [19659069]: x → a .}
• und Epimorphismus (oder Epos ), wenn es rechtskündbar ist, dh g ₁ f = g ₂ f impliziert g ₁ = g ₂ für alle Morphismen g ₁ g ₂ : b → x Bimorphismus wenn es sich sowohl um einen Monomorphismus als auch um einen Epimorphismus handelt.
• a Rückzug wenn er rechts invers ist, dh wenn ein Morphismus vorliegt g [1 9459014]: b → a mit fg = 1 _b a links invers, dh wenn ein Morphismus existiert g : b → a mit gf = 1 _a
• ein -Isomorphismus wenn er eine Inverse hat, dh wenn ein Morphismus existiert g : b → a mit ] fg = 1 _b und gf = 1 _a .
• ein Endomorphismus ] = b . Die Klasse der Endomorphismen von a wird als Ende bezeichnet ( a ).
• und automorphism wenn f sowohl ein Endomorphismus als auch ein Endomorphismus ist Isomorphismus. Die Klasse der Automorphismen von a wird als aut ( a ) bezeichnet.

Jeder Rückzug ist ein Epimorphismus. Jeder Abschnitt ist ein Monomorphismus. Die folgenden drei Aussagen sind gleichwertig:

• f ist ein Monomorphismus und ein Rückzug,
• f ist ein Epimorphismus und ein Abschnitt;
• f ist ein Isomorphismus ] Beziehungen zwischen Morphismen (wie fg = h ) können am bequemsten mit Kommutationsdiagrammen dargestellt werden, wobei die Objekte als Punkte und die Morphismen als Pfeile dargestellt werden.

  Arten von Kategorien [ edit ]

  • In vielen Kategorien, z. Ab oder Vect _K die Hom-Sets hom ( a b ) sind nicht nur Sets, sondern tatsächlich abelsche Gruppen, und die Zusammensetzung der Morphismen ist mit diesen Gruppenstrukturen kompatibel; ist bilinear. Eine solche Kategorie wird als Preadditive bezeichnet. Wenn die Kategorie außerdem alle endlichen Produkte und Koppelprodukte enthält, wird sie als additive Kategorie bezeichnet. Wenn alle Morphismen einen Kern und einen Cokernel haben und alle Epimorphismen Cokernels und alle Monomorphismen Kernel sind, spricht man von einer abelschen Kategorie. Ein typisches Beispiel für eine abelsche Kategorie ist die Kategorie der abelschen Gruppen.
  • Eine Kategorie wird als vollständig bezeichnet, wenn alle kleinen Grenzwerte darin enthalten sind. Die Kategorien von Mengen, abelschen Gruppen und topologischen Räumen sind vollständig.
  • Eine Kategorie wird als kartesisch geschlossen bezeichnet, wenn sie endliche direkte Produkte hat und ein auf einem endlichen Produkt definierter Morphismus immer durch einen auf nur einem der Faktoren definierten Morphismus dargestellt werden kann . Beispiele sind Set und CPO die Kategorie der vollständigen Teilaufträge mit Scott-kontinuierlichen Funktionen.
  • Ein Topos ist eine bestimmte kartesische geschlossene Kategorie, in der die gesamte Mathematik sein kann formuliert (wie klassisch wird die gesamte Mathematik in der Kategorie von Sätzen formuliert). Ein Topos kann auch verwendet werden, um eine logische Theorie darzustellen.

  Siehe auch [ edit ]

  1. ^ S. Eilenberg und S. Mac Lane "Allgemeine Theorie der natürlichen Äquivalenzen", Transaktionen der American Mathematical Society 01/1945; 58 (2): 231-231. doi: 10.2307 / 1990284
  2. ^ Barr & Wells, Chapter 1.

  Referenzen [ edit

  • Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990), Abstrakte und Konkrete Kategorien (PDF) John Wiley & Sons, ISBN 0-471-60922-6 (jetzt kostenlose Online-Ausgabe, GNU FDL)
  • Asperti, Andrea; Longo, Giuseppe (1991), Kategorien, Typen und Strukturen (PDF) MIT Press, ISBN 0-262-01125-5 .
  • Awodey, Steve ( 2006), Kategorientheorie Oxford-Logikführer, 49 Oxford University Press, ISBN 978-0-19-856861-2 .
  • Barr, Michael; Wells, Charles (2005), Toposen, Triples und Theorien Nachdrucke in Theorie und Anwendungen von Kategorien, 12 (überarbeitete Ausgabe), MR 2178101 . Borceux, Francis (1994), "Handbook of Categorical Algebra", Enzyklopädie der Mathematik und ihrer Anwendungen 50–52, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-06119-9
  • Hazewinkel, Michiel, Hrsg. (2001) [1994]"Category", Enzyklopädie der Mathematik Springer Science + Business Media BV / Verlag Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
  • Herrlich, Horst; Strecker, George E. (2007), Kategorientheorie Heldermann Verlag .
  • Jacobson, Nathan (2009), Grundalgebra (2. Aufl.) , Dover, ISBN 978-0-486-47187-7
  • Lawvere, William; Schanuel, Steve (1997), Konzeptuelle Mathematik: Eine erste Einführung in Kategorien Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-47249-0 .
  • [19456573] Mac Lane, Saunders (1998), Kategorien für den Arbeitsmathematiker Diplomierte Texte in Mathematik 5 (2. Aufl.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98403-8
  • [19456575] Marquis , Jean-Pierre (2006), "Kategorietheorie", in Zalta, Edward N., Stanford Encyclopedia of Philosophy .
  • Sica, Giandomenico (2006), Was ist eine Kategorie Theorie? Fortgeschrittene Studien in Mathematik und Logik, 3 Polimetrica, ISBN 978-88-7699-031-1 .
  • Kategorie in nLab