Wednesday, November 21, 2018

Algebra - Wikipedia


Die quadratische Formel drückt die Lösung der Gleichung ax 2 + bx + c = 0 aus, wobei a ist nicht Null in Bezug auf seine Koeffizienten a b und c .

Algebra (aus Arabisch ) al-jabr "wörtlich übersetzt" Wiedervereinigung gebrochener Teile "[1]), ist zusammen mit der Zahlentheorie, der Geometrie und der Analyse einer der großen Teile der Mathematik. In ihrer allgemeinsten Form ist Algebra das Studium mathematischer Symbole und der Regeln zur Manipulation dieser Symbole. [2] Es ist ein verbindender Faden fast aller Mathematik. [3] Sie umfasst alles von der Lösung von Elementargleichungen bis zum Studium von Abstraktionen wie Gruppen, Ringe und Felder. Die grundlegenderen Teile der Algebra werden als elementare Algebra bezeichnet. Die abstrakteren Teile werden als abstrakte Algebra oder moderne Algebra bezeichnet. Grundlegende Algebra wird im Allgemeinen als wesentlich für jedes Studium der Mathematik, Naturwissenschaften oder des Ingenieurwesens sowie für Anwendungen wie Medizin und Wirtschaft betrachtet. Abstrakte Algebra ist ein Hauptgebiet der fortgeschrittenen Mathematik und wird hauptsächlich von professionellen Mathematikern studiert.

Die elementare Algebra unterscheidet sich von der Arithmetik in der Verwendung von Abstraktionen, beispielsweise indem Buchstaben für Zahlen verwendet werden, die entweder unbekannt sind oder viele Werte annehmen dürfen. [4] Zum Beispiel in der Buchstabe ist unbekannt, aber das Gesetz der Inversen kann verwendet werden, um seinen Wert zu ermitteln: . In E = mc 2 den Buchstaben E "/> und [19659037] m { displaystyle m} sind Variablen, und der Buchstabe ist eine Konstante "/> . die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum. Algebra bietet Methoden zum Schreiben von Formeln und zum Lösen von Gleichungen, die viel klarer und einfacher sind als die ältere Methode, alles in Worte zu schreiben.

Das Wort Algebra wird auch auf bestimmte spezialisierte Weise verwendet. Eine besondere Art von mathematischen Objekten in der abstrakten Algebra wird "Algebra" genannt, und das Wort wird beispielsweise in den Ausdrücken "Lineare Algebra" und "Algebraische Topologie" verwendet.

Ein Mathematiker, der in der Algebra forscht, wird Algebraist genannt.

Etymology

Das Wort Algebra stammt aus dem Arabischen الجبر ( al-jabr lit. "Die Wiedervereinigung gebrochener Teile") des Buches Ilm al-jabr wa'l-muḳābala des persischen Mathematikers und Astronomen al-Khwarizmi. Das Wort kam im 15. Jahrhundert in die englische Sprache, entweder in Spanisch, Italienisch oder im Mittelalter. Ursprünglich bezog er sich auf das chirurgische Verfahren zum Setzen gebrochener oder dislozierter Knochen. Die mathematische Bedeutung wurde erstmals im 16. Jahrhundert erfasst. [5]

Unterschiedliche Bedeutungen der "Algebra"

Das Wort "Algebra" hat mehrere verwandte Bedeutungen in der Mathematik, als einzelnes Wort oder mit Qualifikationsmerkmalen.

  • Als einzelnes Wort ohne Artikel bezeichnet "Algebra" einen großen Teil der Mathematik.
  • Als einzelnes Wort mit einem Artikel oder im Plural bezeichnet "Algebra" oder "Algebren" eine bestimmte mathematische Struktur, deren Die genaue Definition hängt vom Autor ab. Normalerweise hat die Struktur eine Addition, Multiplikation und eine skalare Multiplikation (siehe Algebra über ein Feld). Wenn einige Autoren den Begriff "Algebra" verwenden, machen sie eine Untermenge der folgenden zusätzlichen Annahmen: assoziative, kommutative, unitaliale und / oder endliche Dimensionen. In der universellen Algebra bezieht sich das Wort "Algebra" auf eine Verallgemeinerung des obigen Konzepts, die n-ary-Operationen ermöglicht.
  • Bei einem Qualifier gibt es die gleiche Unterscheidung:
    • Ohne Artikel bedeutet dies einen Teil der Algebra, wie z. B. lineare Algebra, elementare Algebra (die Symbolmanipulationsregeln, die in Elementarkursen der Mathematik als Teil der Primar- und Sekundarstufe unterrichtet werden) oder abstrakte Algebra (das Studium der algebraische Strukturen für sich selbst.)
    • Mit einem Artikel ist eine Instanz einer abstrakten Struktur gemeint, wie einer Lie-Algebra, einer assoziativen Algebra oder einer Scheiteloperator-Algebra.
    • Manchmal bestehen beide Bedeutungen für dasselbe Qualifikationsmerkmal als in dem Satz: Kommutative Algebra ist das Studium kommutativer Ringe, bei denen es sich um kommutative Algebren über Ganzzahlen handelt .

Algebra als Zweig der Mathematik

Algebra begann mit Berechnungen, die denen der Arithmetik ähnelten Buchstaben, die für Zahlen stehen. [4] Dies erlaubte den Nachweis von Eigenschaften, die unabhängig von der Anzahl der Zahlen wahr sind. Zum Beispiel in der quadratischen Gleichung

] kann eine beliebige Zahl sein (außer dass nicht sein kann ), und die quadratische Formel kann verwendet werden, um schnell und einfach die Werte der unbekannten Größe zu finden, die die Gleichung erfüllen. Das heißt, um alle Lösungen der Gleichung zu finden.

Historisch und in der aktuellen Lehre beginnt das Studium der Algebra mit dem Lösen von Gleichungen wie der oben genannten quadratischen Gleichung. Dann sind allgemeinere Fragen wie "Hat eine Gleichung eine Lösung?", "Wie viele Lösungen hat eine Gleichung?", "Was kann man über die Art der Lösungen sagen?" gelten als. Diese Fragen führten zu einer Erweiterung der Algebra auf nicht-numerische Objekte wie Permutationen, Vektoren, Matrizen und Polynome. Die strukturellen Eigenschaften dieser nicht numerischen Objekte wurden dann in algebraische Strukturen wie Gruppen, Ringe und Felder abstrahiert.

Vor dem 16. Jahrhundert wurde die Mathematik in nur zwei Teilbereiche unterteilt: Arithmetik und Geometrie. Obwohl einige Methoden, die viel früher entwickelt wurden, heutzutage als Algebra betrachtet werden können, stammt die Entstehung der Algebra und bald darauf des Infinitesimalkalküls als Teilfelder der Mathematik erst aus dem 16. oder 17. Jahrhundert. Ab der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts erschienen viele neue Gebiete der Mathematik, von denen die meisten sowohl von Arithmetik als auch von Geometrie Gebrauch machten, und fast alle verwendeten Algebra.

Heute ist die Algebra gewachsen, bis sie viele Zweige der Mathematik enthält, wie aus der Mathematics Subject Classification [6] hervorgeht, in der keiner der Bereiche der ersten Ebene (zweistellige Einträge) Algebra genannt wird. Die heutige Algebra umfasst den Abschnitt 08 - Allgemeine algebraische Systeme, 12-Feldtheorie und Polynome, 13-kommutative Algebra, 15-lineare und multilineare Algebra. Matrixtheorie, 16 assoziative Ringe und Algebren, 17 nichtassoziative Ringe und Algebren, 18-Kategorien-Theorie; Homologische Algebra, 19-K-Theorie und 20-Gruppentheorie. Algebra wird auch in der 11-Zahlen-Theorie und der 14-algebraischen Geometrie umfangreich verwendet.

Geschichte

Frühere Geschichte der Algebra

Die Wurzeln der Algebra lassen sich auf die alten Babylonier zurückführen, [7] die ein fortgeschrittenes Rechensystem entwickelten, mit dem sie algorithmisch rechnen konnten. Die Babylonier entwickelten Formeln, um Lösungen für Probleme zu berechnen, die heute normalerweise durch lineare Gleichungen, quadratische Gleichungen und unbestimmte lineare Gleichungen gelöst werden. Im Gegensatz dazu lösten die meisten Ägypter dieser Epoche sowie die griechische und chinesische Mathematik im 1. Jahrtausend v. Chr. Solche Gleichungen gewöhnlich mit geometrischen Methoden, wie sie im Rhind Mathematical Papyrus von Euclid beschrieben sind. Elemente und Die neun Kapitel über die mathematische Kunst . Das geometrische Werk der Griechen, typisch für die Elemente (19459008), bildete den Rahmen für die Verallgemeinerung von Formeln über die Lösung bestimmter Probleme hinaus in allgemeinere Systeme zum Festlegen und Lösen von Gleichungen, obwohl dies erst bei der Entwicklung der Mathematik verwirklicht werden würde Mittelalterlicher Islam [8]

Zur Zeit von Platon hatte die griechische Mathematik einen drastischen Wandel erfahren. Die Griechen schufen eine geometrische Algebra, in der Begriffe durch Seiten geometrischer Objekte, meist Linien, dargestellt wurden, die mit Buchstaben verbunden waren. [4] Diophantus (3. Jahrhundert n. Chr.) War ein griechischer Mathematiker aus Alexandria und Autor einer Reihe von Büchern mit dem Namen Arithmetica . Diese Texte befassen sich mit dem Lösen algebraischer Gleichungen [9] und führten in der Zahlentheorie zum modernen Begriff der diophantischen Gleichung.

Frühere Traditionen hatten einen direkten Einfluss auf den persischen Mathematiker Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (ca. 780–850). Später schrieb er Das umfassende Buch zur Berechnung durch Vollständigkeit und Ausgleich (19459008), das Algebra als mathematische Disziplin etablierte, die von Geometrie und Arithmetik unabhängig war. [10]

Der hellenistische Mathematiker Hero von Alexandria und Diophantus [11] sowie indische Mathematiker wie Brahmagupta setzten die Traditionen von Ägypten und Babylon fort, während Diophantus Arithmetica und Brahmaguptas Brāhmasphuṭasiddhānta [105009] ] bessere Quelle erforderlich Beispielsweise wurde die erste vollständige arithmetische Lösung (einschließlich Null- und Negativlösungen) für quadratische Gleichungen von Brahmagupta in seinem Buch Brahmasphutasiddhanta beschrieben ] [ Zitat benötigt ] Später entwickelten die persischen und arabischen Mathematiker algebraische Methoden zu einem viel höheren Grad an Raffinesse. Obwohl Diophantus und die Babylonier vor allem spezielle Ad-hoc-Methoden verwendeten, um Gleichungen zu lösen, war der Beitrag von Al-Khwarizmi von grundlegender Bedeutung. Er löste lineare und quadratische Gleichungen ohne algebraische Symbolik, negative Zahlen oder Null und musste daher verschiedene Arten von Gleichungen unterscheiden. [13]

In dem Zusammenhang, in dem die Algebra mit der Theorie der Gleichungen identifiziert wird, Der griechische Mathematiker Diophantus ist traditionell als "Vater der Algebra" bekannt. In diesem Kontext, in dem er Regeln zum Manipulieren und Lösen von Gleichungen kennt, wird der persische Mathematiker Al-Khwarizmi als "Vater der Algebra" betrachtet. [14][15][16][17][18][19] Eine Debatte Nun besteht die Frage, wer (im allgemeinen Sinne) eher als "Vater der Algebra" bezeichnet werden darf. Diejenigen, die Diophantus unterstützen, weisen darauf hin, dass die Algebra von Al-Jabr (19459008) etwas elementarer ist als die in Arithmetica gefundene Algebra und dass Arithmetica dagegen synkopiert ist Al-Jabr ist voll rhetorisch. [20] Diejenigen, die Al-Khwarizmi unterstützen, weisen darauf hin, dass er die Methoden der "Reduktion" und des "Ausgleichs" (die Transposition subtrahierter Begriffe auf die andere Seite von) eingeführt hat eine Gleichung, dh die Aufhebung gleicher Begriffe auf gegenüberliegenden Seiten der Gleichung), auf die der Begriff al-jabr ursprünglich verwies, [21] und dass er eine erschöpfende Erklärung für das Lösen von quadratischen Gleichungen gab, [GestütztaufgeometrischeBeweiseundbehandelteAlgebraalseigenständigeeigenständigeDisziplin[17] Seine Algebra beschäftigte sich auch nicht mehr mit "einer Reihe von zu lösenden Problemen", sondern mit einer Darstellung, die mit primitiven Begriffen beginnt, in denen die Kombinationen Mus Geben Sie alle möglichen Prototypen für Gleichungen an, die fortan explizit das eigentliche Untersuchungsobjekt darstellen ". Er studierte auch eine Gleichung für sich und "auf eine generische Weise, insofern sie nicht einfach im Zuge der Lösung eines Problems auftaucht, sondern ausdrücklich aufgefordert wird, eine unendliche Klasse von Problemen zu definieren". [23]

Ein anderer persischer Mathematiker, Omar Khayyam, wird die Grundsteine ​​der algebraischen Geometrie identifiziert und die allgemeine geometrische Lösung der kubischen Gleichung gefunden. Sein Buch Die Abhandlung über Probleme der Algebra (1070), in der die Grundsätze der Algebra niedergelegt wurden, ist Teil des Körpers der persischen Mathematik, der schließlich nach Europa übertragen wurde. [24] Ein weiterer persischer Mathematiker, Sharaf al-Dīn al-Tūsī fand algebraische und numerische Lösungen für verschiedene Fälle kubischer Gleichungen. [25] Er entwickelte auch das Konzept einer Funktion. [26] Die indischen Mathematiker Mahavira und Bhaskara II., Der persische Mathematiker Al-Karaji. [27] und der chinesische Mathematiker Zhu Shijie lösten verschiedene Fälle von kubischen, quartischen, quintischen und Polynomialgleichungen höherer Ordnung mit numerischen Methoden. Im 13. Jahrhundert ist die Lösung einer kubischen Gleichung durch Fibonacci repräsentativ für den Beginn einer Wiederbelebung der europäischen Algebra. Abū al-Ḥasan ibn ʿAlī al-Qalaṣādī (1412–1486) unternahm "die ersten Schritte zur Einführung des algebraischen Symbolismus". Er berechnete auch n 2 1945 n 3 und verwendete die Methode der sukzessiven Approximation zur Bestimmung der Quadratwurzeln.

Moderne Geschichte der Algebra

François Viètes Arbeit an der neuen Algebra am Ende des 16. Jahrhunderts war ein wichtiger Schritt in Richtung moderne Algebra. Im Jahre 1637 veröffentlichte René Descartes La ​​Géométrie in dem er die analytische Geometrie erfand und moderne algebraische Notationen einführte. Ein weiteres wichtiges Ereignis bei der Weiterentwicklung der Algebra war die allgemeine algebraische Lösung der kubischen und quartischen Gleichungen, die Mitte des 16. Jahrhunderts entwickelt wurde. Die Idee einer Determinante wurde im 17. Jahrhundert vom japanischen Mathematiker Seki Kōwa entwickelt, zehn Jahre später folgte Gottfried Leibniz eigenständig, um Systeme von simultanen linearen Gleichungen mit Hilfe von Matrizen zu lösen. Gabriel Cramer hat im 18. Jahrhundert auch an Matrizen und Determinanten gearbeitet. Permutationen wurden von Joseph-Louis Lagrange in seiner 1770 erschienenen Arbeit Réflexions sur la résolution algébrique des équations untersucht, die sich mit Lösungen algebraischer Gleichungen befasste, in denen er Lagrange-Lösungsansätze einführte. Paolo Ruffini entwickelte als erster die Theorie der Permutationsgruppen und wie seine Vorgänger auch im Zusammenhang mit der Lösung algebraischer Gleichungen.

Die abstrakte Algebra wurde im 19. Jahrhundert entwickelt und entwickelte sich aus dem Interesse an der Lösung von Gleichungen. Zunächst konzentrierte sie sich auf die sogenannte Galois-Theorie und auf Fragen der Konstruierbarkeit. [29] George Peacock war der Begründer des axiomatischen Denkens in Arithmetik und Algebra . Augustus De Morgan entdeckte die Beziehungsalgebra in seinem Syllabus eines vorgeschlagenen Systems der Logik . Josiah Willard Gibbs entwickelte eine Algebra von Vektoren im dreidimensionalen Raum, und Arthur Cayley entwickelte eine Algebra von Matrizen (dies ist eine nichtkommutative Algebra). [30]

Bereiche der Mathematik mit dem Wort Algebra im Namen

Einige Bereiche der Mathematik die unter die Klassifikation der abstrakten Algebra fallen, haben das Wort Algebra in ihrem Namen; Lineare Algebra ist ein Beispiel. Andere nicht: Gruppentheorie, Ringtheorie und Feldtheorie sind Beispiele. In diesem Abschnitt listen wir einige Bereiche der Mathematik mit dem Wort "Algebra" im Namen auf.

  • Elementare Algebra, der Teil der Algebra, der normalerweise in Grundkurse der Mathematik unterrichtet wird.
  • Abstrakte Algebra, in der algebraische Strukturen wie Gruppen, Ringe und Felder axiomatisch definiert und untersucht werden.
  • Lineare Algebra, in Untersucht werden die spezifischen Eigenschaften von linearen Gleichungen, Vektorräumen und Matrizen.
  • Boolesche Algebra, ein Zweig der Algebra, der die Berechnung mit den Wahrheitswerten abstrahiert false und true .
  • ] Commutative Algebra, das Studium kommutativer Ringe.
  • Computeralgebra, Implementierung algebraischer Methoden als Algorithmen und Computerprogramme.
  • Homologische Algebra, das Studium algebraischer Strukturen, die für das Studium topologischer Räume von grundlegender Bedeutung sind.
  • Universal Algebra, in der Eigenschaften untersucht werden, die allen algebraischen Strukturen gemeinsam sind.
  • Algebraische Zahlentheorie, in der die Eigenschaften von Zahlen von einem algebraischen Punkt aus untersucht werden Ansicht.
  • Algebraische Geometrie, ein Zweig der Geometrie, in seiner primitiven Form, die Kurven und Flächen als Lösungen von Polynomialgleichungen angibt.
  • Algebraische Kombinatorik, bei der algebraische Methoden zur Untersuchung kombinatorischer Fragen verwendet werden.
  • Relational Algebra: eine Reihe von Finanzbeziehungen, die unter bestimmten Operatoren geschlossen ist.

Viele mathematische Strukturen werden als Algebren bezeichnet:

Elementare Algebra

Algebraische Ausdrucksnotation:
1 - Potenz (Exponent)
2 - Koeffizient
3 - Term
4 - Operator
5 - konstanter Term
x y c - Variablen / Konstanten

Elementare Algebra ist die grundlegendste Form der Algebra. Es wird Schülern beigebracht, von denen angenommen wird, dass sie über die Grundlagen der Arithmetik hinaus keine mathematischen Kenntnisse besitzen. In der Arithmetik kommen nur Zahlen und deren arithmetische Operationen (wie +, -, ×, ÷) vor. In der Algebra werden Zahlen häufig durch Symbole bezeichnet, die als Variablen bezeichnet werden (wie a n x y y oder ). Das ist nützlich, weil:

  • Es erlaubt die allgemeine Formulierung von Arithmetikgesetzen (wie a + b = b + a für alle ) a und b ) und ist somit der erste Schritt zu einer systematischen Untersuchung der Eigenschaften des reellen Zahlensystems.
  • Es erlaubt den Bezug auf "unbekannte" Zahlen, die Formulierung von Gleichungen und die Studie, wie man diese löst. (Zum Beispiel: "Find a number x so, dass 3 x + 1 = 10" oder etwas weiter gehen "" Finden Sie eine Nummer x wie ] ax + b = c "". Dieser Schritt lässt den Schluss zu, dass es nicht die Art der spezifischen Zahlen ist, sondern die des Operationen beteiligt.)
  • Es ermöglicht die Formulierung funktionaler Beziehungen. (Zum Beispiel: "Wenn Sie x Tickets verkaufen, wird Ihr Gewinn 3 x - 10 Dollar oder f ( x ) sein. ) = 3 x - 10, wobei f die Funktion ist und x die Zahl ist, auf die die Funktion angewendet wird. "

Polynome [19659155] Der Graph einer Polynomfunktion des Grades 3.

A Polynom ist ein Ausdruck, der die Summe einer endlichen Anzahl von Nicht-Null-Termen ist, wobei jeder Term aus dem Produkt einer Konstanten und besteht eine endliche Anzahl von Variablen, die auf ganze Potenzen angewendet werden. Beispielsweise ist x 2 + 2 x - 3 ein Polynom in der einzigen Variablen x . Ein Polynomausdruck ist ein Ausdruck, der als Polynom unter Verwendung von Kommutativität, Assoziativität und Verteilbarkeit von Addition und Multiplikation umgeschrieben werden kann. Zum Beispiel ist ( x - 1) ( x + 3) ein Polynomausdruck, der eigentlich kein Polynom ist. Eine -Polynomfunktion ist eine Funktion, die durch ein Polynom oder äquivalent durch einen Polynomausdruck definiert wird. Die beiden vorhergehenden Beispiele definieren dieselbe Polynomfunktion.

Zwei wichtige und verwandte Probleme in der Algebra sind die Faktorisierung von Polynomen, dh das Ausdrücken eines gegebenen Polynoms als Produkt anderer Polynome, die nicht weiter einbezogen werden können, und die Berechnung der größten gemeinsamen Divisoren des Polynoms. Das obige Beispiel-Polynom kann als ( x - 1) ( x + 3) berücksichtigt werden. Eine verwandte Klasse von Problemen besteht darin, algebraische Ausdrücke für die Wurzeln eines Polynoms in einer einzelnen Variablen zu finden.

Bildung

Es wurde vorgeschlagen, die Grundalgebra bereits im Alter von elf Jahren für Schüler zu unterrichten, [31] . In den letzten Jahren ist es jedoch üblicher, dass der öffentliche Unterricht mit der achten Klasse beginnt (≈ 13) yo ±) in den Vereinigten Staaten. [32] In einigen US-amerikanischen Schulen wird die Algebra jedoch in der neunten Klasse begonnen.

Abstrakte Algebra

Abstrakte Algebra erweitert die bekannten Begriffe der elementaren Algebra und der Arithmetik von Zahlen auf allgemeinere Begriffe. Hier werden grundlegende Konzepte in der abstrakten Algebra aufgeführt.

Sets : Anstatt die verschiedenen Arten von Zahlen zu betrachten, beschäftigt sich die abstrakte Algebra mit dem allgemeineren Konzept von Sets : einer Sammlung aller Objekte (als Elemente bezeichnet), die nach Eigenschaft ausgewählt werden spezifisch für das Set. Alle Sammlungen der bekannten Zahlentypen sind Mengen. Andere Beispiele von Mengen umfassen die Menge aller Two-by-Two-Matrizen, die Menge aller Polynome zweiten Grades ( ax 2 + bx + c ), die Menge aller zweidimensionalen Vektoren in der Ebene und die verschiedenen endlichen Gruppen, wie z. B. die zyklischen Gruppen, bei denen es sich um Gruppen von ganzen Zahlen handelt n . Die Mengenlehre ist ein Zweig der Logik und nicht technisch ein Zweig der Algebra.

Binäre Operationen : Der Begriff der Addition (+) wird abstrahiert, um eine binäre Operation zu ergeben, ∗ sagen. Der Begriff der binären Operation ist ohne die Menge ohne Bedeutung, für die die Operation definiert ist. Für zwei Elemente a und b in einem Satz S a ∗ b ist ein Element im Satz ; Diese Bedingung wird als Schließung bezeichnet. Addition (+), Subtraktion (-), Multiplikation (×) und Division (÷) können binäre Operationen sein, wenn sie für verschiedene Mengen definiert werden, ebenso wie Addition und Multiplikation von Matrizen, Vektoren und Polynomen.

Identitätselemente : Die Zahlen Null und Eins werden abstrahiert, um die Vorstellung eines Identitätselements für eine Operation zu geben. Null ist das Identitätselement für die Addition und eines ist das Identitätselement für die Multiplikation. Für einen allgemeinen binären Operator ∗ muss das Identitätselement e a [1945 e = a und e satisfy erfüllen a = a und ist notwendigerweise eindeutig, wenn es existiert. Dies gilt für die Addition als a + 0 = a und 0 + a = a und Multiplikation a × 1 = a und 1 × a = a . Nicht alle Sets und Operatorkombinationen haben ein Identitätselement. Zum Beispiel hat die Menge der positiven natürlichen Zahlen (1, 2, 3, ...) kein Identitätselement für die Addition.

Inverse Elemente : Die negativen Zahlen führen zum Konzept der inversen Elemente . Zusätzlich wird die Inverse von a geschrieben - a und zur Multiplikation wird die Inverse a -1 geschrieben. Ein allgemeines zweiseitiges inverses Element a -1 erfüllt die Eigenschaft, dass a ∗ a -1 = e e e ist ] und a -1 [1945 a = e wobei e das Identitätselement ist.

Assoziativität : Die Addition ganzer Zahlen hat eine Eigenschaft, die als Assoziativität bezeichnet wird. Das heißt, die Gruppierung der hinzuzufügenden Zahlen hat keinen Einfluss auf die Summe. Zum Beispiel: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) . Im Allgemeinen wird dies (19459007] a ∗ b ) ∗ c = a ( b [194519459007] c ). Diese Eigenschaft wird von den meisten binären Operationen gemeinsam genutzt, jedoch nicht durch Subtraktion, Division oder Oktonion-Multiplikation.

Commutativity : Addition und Multiplikation von reellen Zahlen sind beide kommutativ. Das heißt, die Reihenfolge der Zahlen beeinflusst das Ergebnis nicht. Zum Beispiel: 2 + 3 = 3 + 2. Im Allgemeinen wird dies a [1945 b = b ∗ a . Diese Eigenschaft gilt nicht für alle binären Operationen. Zum Beispiel sind Matrixmultiplikation und Quaternionenmultiplikation nicht kommutativ.

Gruppen

Die Kombination der obigen Konzepte ergibt eine der wichtigsten Strukturen in der Mathematik: eine Gruppe . Eine Gruppe ist eine Kombination aus einem Satz S und einer einzelnen binären Operation ∗, die auf beliebige Weise definiert wird, jedoch mit den folgenden Eigenschaften:

  • Ein Identitätselement und existiert, so dass für jedes Mitglied ein von S und ein ein ist ] und a ∗ und sind beide identisch mit a .
  • Jedes Element hat eine Umkehrung: für jedes Mitglied a von S existiert ein Mitglied a -1 so dass a ∗ a -1 und a −1 [1945 a sind beide identisch mit dem Identitätselement.
  • Die Operation ist assoziativ: if a b und c sind Mitglieder von S dann a [1945 b ] c a ist identisch [( b ∗ c ).

Wenn eine Gruppe auch kommutativ ist - das heißt für zwei beliebige Mitglieder a und b von S a ∗ b ist identisch mit b [1945 a - dann heißt es, die Gruppe sei abelisch.

Zum Beispiel ist die Menge der Ganzzahlen, die während der Addition verwendet werden, eine Gruppe. In dieser Gruppe ist das Identitätselement 0 und die Umkehrung eines beliebigen Elements a ist seine Negation, - a . Die Assoziativitätsanforderung wird erfüllt, weil für ganze Zahlen a b und c [ a + b ) + c = a + ( b + c )

Die rationalen Zahlen ungleich Null bilden eine Gruppe unter Multiplikation. Das Identitätselement ist hier 1, da 1 × a = a × 1 = a für eine beliebige rationale Zahl a . Die Inverse von a ist 1 / a seit a × 1 / a = 1.

Die Ganzzahlen der Multiplikationsoperation bilden jedoch keine Gruppe. Dies liegt daran, dass das multiplikative Inverse einer Ganzzahl im Allgemeinen keine Ganzzahl ist. Beispielsweise ist 4 eine ganze Zahl, aber deren multiplikative Inverse ist ¼, was keine ganze Zahl ist.

Die Theorie der Gruppen wird in der Gruppentheorie untersucht. Ein Hauptergebnis in dieser Theorie ist die Klassifizierung endlicher einfacher Gruppen, die meist zwischen 1955 und 1983 veröffentlicht wurden und die die endlichen einfachen Gruppen in ungefähr 30 Grundtypen unterteilt.

Halbgruppen, Quasigruppen und Monoide sind gruppenähnliche Strukturen, jedoch allgemeiner. Sie umfassen eine Menge und eine geschlossene Binäroperation, erfüllen jedoch nicht notwendigerweise die anderen Bedingungen. Eine Halbgruppe hat eine assoziative -Operation (19459008), besitzt jedoch möglicherweise kein Identitätselement. Ein Monoid ist eine Halbgruppe, die eine Identität hat, aber nicht für jedes Element eine Umkehrung hat. Eine Quasigruppe erfüllt die Anforderung, dass jedes Element durch eine eindeutige Linksmultiplikation oder Rechtsmultiplikation in ein anderes Element umgewandelt werden kann. Die binäre Operation ist jedoch möglicherweise nicht assoziativ.

Alle Gruppen sind Monoide, und alle Monoide sind Halbgruppen.

Ringe und Felder

Gruppen haben nur eine binäre Operation. Um das Verhalten der verschiedenen Arten von Zahlen vollständig zu erklären, müssen Strukturen mit zwei Operatoren untersucht werden. Die wichtigsten davon sind Ringe und Felder.

Ein -Ring hat zwei binäre Operationen (+) und (×) mit × distributive über +. Unter dem ersten Operator (+) bildet sie eine abelsche Gruppe . Unter dem zweiten Operator (×) ist es assoziativ, aber es muss keine Identität oder Umkehrung vorhanden sein, sodass keine Division erforderlich ist. Das additive (+) - Identitätselement wird als 0 geschrieben und die additive Inverse von a wird als - a geschrieben.

Verteilungsfähigkeit verallgemeinert das Verteilungsgesetz für Zahlen. Für die ganzen Zahlen ( a + b b) × c = a × c + ] b × c und c × ( a + b ) = c x × 19459007 ] a + c × b und × soll distributiv + sein.

Die ganzen Zahlen sind ein Beispiel für einen Ring. Die Ganzzahlen haben zusätzliche Eigenschaften, die es zu einer integralen Domäne von machen.

Ein -Feld ist ein -Ring mit der zusätzlichen Eigenschaft, dass alle Elemente außer 0 eine abelsche Gruppe unter × bilden. The multiplicative (×) identity is written as 1 and the multiplicative inverse of a is written as a−1.

The rational numbers, the real numbers and the complex numbers are all examples of fields.

See also

References

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  15. ^ See (Boyer 1991), page 230: "The six cases of equations given above exhaust all possiblities for linear and quadratic equations...In this sense, then, al-Khwarizmi is entitled to be known as 'the father of algebra'".
  16. ^ See (Boyer 1991), page 228: "Diophantus sometimes is called the father of algebra, but this title more appropriately belongs to al-Khowarizmi".
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  20. ^ See (Boyer 1991), page 228.
  21. ^ See (Boyer 1991), The Arabic Hegemonyp. 229: "It is not certain just what the terms al-jabr and muqabalah mean, but the usual interpretation is similar to that implied in the translation above. The word al-jabr presumably meant something like "restoration" or "completion" and seems to refer to the transposition of subtracted terms to the other side of an equation; the word muqabalah is said to refer to "reduction" or "balancing" – that is, the cancellation of like terms on opposite sides of the equation".
  22. ^ See (Boyer 1991), The Arabic Hegemonyp. 230: "The six cases of equations given above exhaust all possibilities for linear and quadratic equations having positive root. So systematic and exhaustive was al-Khwarizmi's exposition that his readers must have had little difficulty in mastering the solutions".
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  27. ^ See (Boyer 1991), The Arabic Hegemonyp. 239: "Abu'l Wefa was a capable algebraist as well as a trigonometer. ... His successor al-Karkhi evidently used this translation to become an Arabic disciple of Diophantus – but without Diophantine analysis! ... In particular, to al-Karkhi is attributed the first numerical solution of equations of the form ax2n + bxn = c (only equations with positive roots were considered),"
  28. ^ "Al-Qalasadi biography". www-history.mcs.st-andrews.ac.uk. Retrieved 2017-10-17.
  29. ^ "The Origins of Abstract Algebra". University of Hawaii Mathematics Department.
  30. ^ "The Collected Mathematical Papers".Cambridge University Press.
  31. ^ "Hull's Algebra" (pdf). New York Times. July 16, 1904. Retrieved 2012-09-21.
  32. ^ Quaid, Libby (2008-09-22). "Kids misplaced in algebra" (Report). Associated Press . Retrieved 2012-09-23.

Works cited

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  • Gandz, S. (1936), "The Sources of Al-Khowārizmī's Algebra", Osiris1: 263–277
  • Herstein, I.N. (1964), Topics in AlgebraGinn and Company, ISBN 0-471-02371-X

Further reading

  • Allenby, R.B.J.T., Rings, Fields and GroupsISBN 0-340-54440-6
  • Asimov, Isaac (1961). Realm of Algebra. Houghton Mifflin.
  • Boyer, Carl B. (1991), A History of Mathematics (2nd ed.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-471-54397-8
  • Euler, Leonhard, Elements of AlgebraISBN 978-1-899618-73-6
  • Herstein, I.N., Topics in AlgebraISBN 0-471-02371-X
  • Hill, Donald R. (1994), Islamic Science and EngineeringEdinburgh University Press
  • Joseph, George Gheverghese (2000), The Crest of the Peacock: Non-European Roots of MathematicsPenguin Books
  • O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2005), "History Topics: Algebra Index.", MacTutor History of Mathematics archiveUniversity of St Andrews
  • Sardar, Ziauddin; Ravetz, Jerry; Loon, Borin Van (1999), Introducing MathematicsTotem Books

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