In der Theorie der glatten Mannigfaltigkeiten ist eine -Kongruenz die Menge von Integralkurven, die durch ein nicht-flüchtiges Vektorfeld definiert wird, das auf dem Mannigrohr definiert ist.
Kongruenzen sind ein wichtiges Konzept für die allgemeine Relativitätstheorie und auch in Teilen der Riemannschen Geometrie von Bedeutung.
Ein Motivationsbeispiel [ edit ]
Die Idee einer Kongruenz lässt sich wahrscheinlich durch ein Beispiel besser erklären als durch eine Definition. Betrachten Sie den glatten Krümmer R ². Vektorfelder können als lineare partielle Differentialoperatoren erster Ordnung angegeben werden, wie z
Dies entspricht einem System von linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung in diesem Fall
Dabei bezeichnet Punkt eine Ableitung in Bezug auf einige (Dummy-) Parameter. Die Lösungen solcher Systeme sind in diesem Fall Familien von parametrisierten Kurven
Diese Familie wird oft als -Kongruenz von Kurven oder einfach -Kongruenz bezeichnet. kurz.
Bei diesem speziellen Beispiel gibt es zwei Singularitäten bei denen das Vektorfeld verschwindet. Dies sind feste Punkte des Flusses . (Ein Fluss ist eine eindimensionale Gruppe von Diffeomorphismen; ein Fluss definiert eine Aktion der eindimensionalen Lie-Gruppe R mit lokal schönen geometrischen Eigenschaften.) Diese beiden Singularitäten entsprechen zwei Punkten statt zwei Kurven. In diesem Beispiel sind die anderen Integralkurven alle einfache geschlossene Kurven. Viele Flüsse sind wesentlich komplizierter. Um Komplikationen zu vermeiden, die sich aus dem Vorhandensein von Singularitäten ergeben, ist es für gewöhnlich erforderlich, dass das Vektorfeld nicht verschwindend ist.
Wenn wir mehr mathematische Struktur hinzufügen, kann unsere Kongruenz eine neue Bedeutung erlangen.
Übereinstimmungen in Riemannschen Mannigfaltigkeiten [ bearbeiten ]
Wenn wir beispielsweise unseren glatten Mannigfaltigkeit zu einem Riemannianischen Mannigfaltiger machen, indem wir einen hinzufügen Riemannscher Metriktensor, sagen wir den durch das Linienelement definierten
unsere Kongruenz könnte zu einer geodätischen Kongruenz werden. In dem Beispiel aus dem vorhergehenden Abschnitt werden unsere Kurven auf einer gewöhnlichen runden Kugel zu Geodäten (19459062) (wobei der Nordpol ausgeschnitten ist). Wenn wir die standardmäßige euklidische Metrik hinzugefügt hätten stattdessen wären unsere Kurven geworden Kreise, aber keine Geodäten.
Ein interessantes Beispiel für eine Riemannsche geodätische Kongruenz, die sich auf unser erstes Beispiel bezieht, ist die Clifford-Kongruenz auf P³, die auch beim Hopf-Bündel oder Hopf-Fibration bekannt ist. Die Integralkurven bzw. -fasern sind sicher paarweise verknüpfte große Kreise, die Bahnen im Raum von Einheitsnormalquaternionen unter linker Multiplikation mit einer gegebenen Einheitsquaternion von Einheitsnorm.
Übereinstimmungen in Lorentzian-Mannigfaltigkeiten edit
In einem Lorentzian-Mannigfaltigkeitsraum, wie beispielsweise ein Raumzeitmodell in allgemeiner Relativitätstheorie (was normalerweise eine exakte oder angenäherte Lösung für die Einstein-Feldgleichung ist ) werden Kongruenzen als timelike null oder oder spacelike bezeichnet, wenn die Tangentenvektoren jeweils zeitlich, null oder raumähnlich sind. Eine Kongruenz wird als geodätische Kongruenz bezeichnet, wenn das Tangentenvektorfeld hat verschwindende kovariante Ableitung, .
Siehe auch [ edit ]
Referenzen [ edit
- Lee, John M. (2003). Einführung in glatte Verteiler . New York: Springer. ISBN 0-387-95448-1. Ein Lehrbuch über mannigfaltige Theorie. Siehe auch die Lehrbücher desselben Autors über topologische Mannigfaltigkeiten (eine niedrigere Strukturebene) und Riemannsche Geometrie (eine höhere Strukturebene).
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