Kolmogorov-Arnold-Moser-Theorem - Wikipedia

Der Satz von Kolmogorov-Arnold-Moser (KAM) ist ein Ergebnis in dynamischen Systemen über die Persistenz quasiperiodischer Bewegungen unter kleinen Störungen. Der Satz löst teilweise das Problem der kleinen Teiler, das in der Störungstheorie der klassischen Mechanik auftritt.

Das Problem ist, ob eine kleine Störung eines konservativen dynamischen Systems zu einem dauerhaften quasiperiodischen Orbit führt oder nicht. Der ursprüngliche Durchbruch für dieses Problem wurde 1954 von Andrey Kolmogorov gegeben. ^[1] Dies wurde 1962 von Jürgen Moser ^[2] (für glatte Twist-Maps) und Vladimir Arnold (19659005) (für analytische Hamiltonsche Systeme) rigoros bewiesen und erweitert ) und das allgemeine Ergebnis ist als KAM-Theorem bekannt.

Arnold dachte ursprünglich, dass dieser Satz auf die Bewegungen des Sonnensystems oder auf andere Fälle des -Körperproblems angewendet werden könnte, aber es erwies sich als nur für das Dreikörperproblem aufgrund eines Entartung in seiner Formulierung des Problems für eine größere Anzahl von Körpern. Später zeigte Gabriella Pinzari, wie diese Entartung durch die Entwicklung einer rotationsinvarianten Version des Satzes beseitigt werden kann. ^[4]

Statement edit

Integrable Hamiltonsche Systeme [ edit ]

Das KAM-Theorem wird normalerweise in Form von Trajektorien im Phasenraum eines integrierbaren Hamiltonschen Systems angegeben. Die Bewegung eines integrierbaren Systems ist auf einen invarianten Torus (eine ringförmige Oberfläche) beschränkt. Unterschiedliche Anfangsbedingungen des integrierbaren Hamiltonschen Systems führen zu unterschiedlichen invarianten Tori im Phasenraum. Das Aufzeichnen der Koordinaten eines integrierbaren Systems würde zeigen, dass sie quasiperiodisch sind.

Störungen [ edit ]

Der Satz von KAM besagt, dass, wenn das System einer schwachen nichtlinearen Störung ausgesetzt ist, einige der invarianten Tori deformiert sind und überleben [19456523] [19659015] ]während andere zerstört werden. ^{[ ]} ] Überlebende Tori erfüllen die Nicht-Resonanz-Bedingung, dh sie haben "ausreichend irrationale" Frequenzen . Dies impliziert, dass der Antrag ^[der? nach wie vor quasiperiodisch ist, wobei die unabhängigen Zeiträume geändert wurden (als Folge der Nicht-Entartungsbedingung). Der KAM-Theorem quantifiziert den Grad der Störung, der angewendet werden kann, damit dies wahr ist.

Die durch Störung zerstörten KAM-Tori werden zu unveränderlichen Cantor-Sets, die 1945 von Ian C. Percival Cantori genannt wurden. ^[5]

Die Nicht-Resonanz und Nicht-Resonanz -Degenerationsbedingungen des KAM-Theorems werden für Systeme mit mehr Freiheitsgraden immer schwieriger zu erfüllen. Mit zunehmender Anzahl der Dimensionen des Systems nimmt das von dem Tori eingenommene Volumen ab.

Wenn die Störung zunimmt und die glatten Kurven zerfallen, wechseln wir von der KAM-Theorie zur Aubry-Mather-Theorie, die weniger strenge Hypothesen erfordert und mit den Cantor-ähnlichen Mengen arbeitet.

Das Vorhandensein eines KAM-Theorems für Störungen von vielteiligen Quanten-Quantensystemen ist immer noch eine offene Frage, obwohl angenommen wird, dass willkürlich kleine Störungen die Integrierbarkeit in der unendlichen Größengrenze zerstören.

Konsequenzen [ edit ]

Eine wichtige Konsequenz des KAM-Theorems ist, dass die Bewegung für einen großen Satz von Anfangsbedingungen immer quasiperiodisch bleibt. [19456528] [ welche? ]

KAM-Theorie [ ]

Die von Kolmogorov, Arnold und Moser eingeführten Methoden haben sich zu einer großen Anzahl von Ergebnissen entwickelt, die sich auf quasiperiodische Bewegungen beziehen, die heute als bekannt bekannt sind KAM-Theorie . Es wurde insbesondere auf nicht-Hamiltonsche Systeme (beginnend mit Moser), auf nicht störende Situationen (wie in der Arbeit von Michael Herman) und auf Systeme mit schnellen und langsamen Frequenzen (wie in der Arbeit von Mikhail B. Sevryuk) erweitert. .

Siehe auch [ edit ]

1. ^ A. N. Kolmogorov, "Zur Erhaltung von bedingt periodischen Bewegungen unter kleinen Störungen des Hamiltonianers [О сохранении условнопериодических движений при малом изменении функции Гамильтона] Dokl. Akad. Nauk SSR 98 (1954)
2. ^ J. Moser, "Über invariante Kurven von flächenerhaltenden Abbildungen eines Annulus" Nachr. Akad. Wiss. Göttingen Math.-Phys. Kl. II 1962 (1962), 1–20.
3. ^ V. I. Arnold, "Beweis eines Theorems von A. N. Kolmogorov über die Erhaltung von bedingt periodischen Bewegungen unter einer kleinen Störung des Hamiltonianers [Малые знаменатели и проблема устойчивости движения в классической и небесной механике] Uspekhi Mat. Nauk 18 (1963) (engl. Übersetzung: Russ. Math. Surv. 18 9-36, doi: 10.1070 / RM1963v018n05ABEH004130]. ​​
4. ^ 19659036] Khesin, Boris (24. Oktober 2011), Colliander, James, Hrsg., "Nachtrag zu Arnold Memorial Workshop: Khesin über Pinzaris Vortrag", James Collianders Blog
5. ^ Percival, IC (1979-03-01). "Ein Variationsprinzip für invariante Tori fester Frequenz". Journal of Physics A: Mathematical and General . 12 (3): L57-L60. Bibcode: 1979JPhA ... 12L..57P. doi: 10.1088 / 0305-4470 / 12/3/001.

Referenzen [ ]

• Arnold, Weinstein, Vogtmann. Mathematische Methoden der klassischen Mechanik 2. Aufl., Anhang 8: Theorie der Störungen der bedingt periodischen Bewegung und Kolmogorovs Theorem. Springer 1997.
• Wayne, C. Eugene (Januar 2008). "Eine Einführung in die KAM-Theorie" (PDF) . Preprint : 29 . 20. Juni 2012 .
• Jürgen Pöschel (2001). "Ein Vortrag über den klassischen KAM-Theorem" (PDF) . Verfahren von Symposien in der reinen Mathematik (AMS) . 69 : 707–732.
• Rafael de la Llave (2001) Ein Tutorial zur KAM-Theorie .
• Weisstein, Eric W. "Kolmogorov-Arnold-Moser Theorem" . MathWorld .
• KAM-Theorie: Das Erbe von Kolmogorovs Papier von 1954
• Kolmogorov-Arnold-Moser-Theorie von Scholarpedia
• H. Scott Dumas. Die KAM-Geschichte - Eine freundliche Einführung in Inhalt, Geschichte und Bedeutung der klassischen Kolmogorov-Arnold-Moser-Theorie 2014, World Scientific Publishing, ISBN 978-981-4556-58-3. Kapitel 1: Einführung