Feit-Thompson-Theorem - Wikipedia

In der Mathematik besagt der Feit-Thompson-Theorem oder Satz ungerader Ordnung dass jede endliche Gruppe ungerader Ordnung lösbar ist. Es wurde von Walter Feit und John Griggs Thompson (1962, 1963) bewiesen.

Geschichte [ edit ]

Der Unterschied, den diese Ergebnisse zwischen Gruppen von ungeraden und geraden Ordnungen zeigen, legt unvermeidlich nahe, dass einfache Gruppen ungerader Ordnung nicht existieren.

William Burnside ( 1911, S. 503 Anmerkung M)

William Burnside (1911, S. 503 Anmerkung M) vermutete, dass jede nicht-endliche einfache Gruppe gerade Ordnung hat. Richard Brauer (1957) schlug vor, die Zentralisierer von Involutionen einfacher Gruppen als Grundlage für die Klassifizierung endlicher einfacher Gruppen zu verwenden, da der Satz von Brauer-Fowler zeigt, dass es nur eine begrenzte Anzahl endlich einfacher Gruppen mit gegebenem Zentralisierer einer Involution gibt. Eine Gruppe ungerader Ordnung hat keine Engpässe. Um Brauers Programm ausführen zu können, muss zunächst gezeigt werden, dass nicht-zyklische endliche einfache Gruppen niemals eine ungerade Reihenfolge haben. Dies ist gleichbedeutend damit, zu zeigen, dass Gruppen ungerader Ordnung lösbar sind, wie Feit und Thompson bewiesen haben.

Der Angriff auf die Vermutung von Burnside wurde von Michio Suzuki (1957) begonnen, der CA Gruppen untersuchte; Dies sind solche Gruppen, dass der C Entalizer jedes nicht-trivialen Elements A belian ist. In einer wegweisenden Arbeit zeigte er, dass alle CA-Gruppen ungerader Ordnung lösbar sind. (Er klassifizierte später alle einfachen CA-Gruppen und generell alle einfachen Gruppen, so dass der Zentralisierer einer beliebigen Involution eine normale 2-Sylow-Untergruppe hat und dabei eine übersehene Familie einfacher Gruppen vom Lie-Typ findet, die jetzt Suzuki genannt werden gruppen.)

Feit, Marshall Hall und Thompson (1960) dehnten Suzukis Arbeit auf die Familie von CN Gruppen aus; Dies sind Gruppen, so dass der C Entalizer jedes nicht-trivialen Elements N ilpotent ist. Sie zeigten, dass jede CN-Gruppe ungerader Ordnung lösbar ist. Ihr Beweis ist ähnlich wie Suzukis Beweis. Es war ungefähr 17 Seiten lang, was zu der Zeit als sehr lang für einen Beweis in der Gruppentheorie angesehen wurde.

Das Feit-Thompson-Theorem kann als nächster Schritt in diesem Prozess betrachtet werden: Es zeigt sich, dass es keine nicht-zyklische einfache Gruppe ungerader Ordnung gibt, so dass jede richtige Untergruppe lösbar ist. Dies beweist, dass jede endliche Gruppe ungerader Ordnung lösbar ist, da ein minimales Gegenbeispiel eine einfache Gruppe sein muss, sodass jede geeignete Untergruppe lösbar ist. Obwohl der Beweis der gleichen allgemeinen Gliederung folgt wie der Satz von CA und der Satz von CN, sind die Details wesentlich komplizierter. Das Endpapier ist 255 Seiten lang.

Bedeutung des Beweises [ edit ]

Das Feit-Thompson-Theorem zeigte, dass die Klassifizierung von endlichen einfachen Gruppen unter Verwendung von Zentralisierungen von Involutionen möglich sein könnte, da jede nicht-stabianische einfache Gruppe eine hat Involution. Viele der Techniken, die sie in ihren Nachweis einführten, insbesondere die Idee der lokalen Analyse, wurden zu Werkzeugen für die Klassifizierung weiterentwickelt. Der revolutionärste Aspekt des Beweises war vielleicht seine Länge: Vor dem Feit-Thompson-Papier waren einige Argumente in der Gruppentheorie mehr als ein paar Seiten lang und die meisten konnten an einem Tag gelesen werden. Nachdem Gruppentheoretiker erkannt hatten, dass solche langen Argumente funktionieren konnten, erschien eine Reihe von mehr als hundert Seiten langen Papieren. Einige davon haben sogar das Feit-Thompson-Papier in den Schatten gestellt; Die Arbeit von Michael Aschbacher und Stephen D. Smith über Quasithin-Gruppen war 1.221 Seiten lang.

Revision des Beweises [ edit ]

Viele Mathematiker haben Teile des ursprünglichen Feit-Thompson-Beweises vereinfacht. Alle diese Verbesserungen sind jedoch in gewissem Sinne lokal; Die globale Struktur des Arguments ist immer noch gleich, jedoch wurden einige Details der Argumente vereinfacht.

Der vereinfachte Beweis wurde in zwei Büchern veröffentlicht: (Bender & Glauberman 1995), der alles außer der Charaktertheorie abdeckt, und (Peterfalvi 2000, Teil I), der die Charaktertheorie abdeckt. Dieser überarbeitete Beweis ist immer noch sehr hart und ist länger als der Originalnachweis, er ist jedoch eher gemächlich geschrieben.

Ein vollständig formaler Beweis, der mit dem Coq-Beweisassistenten geprüft wurde, wurde im September 2012 von Georges Gonthier und anderen Forschern bei Microsoft Research und INRIA angekündigt. ^[1]

Überblick über den Beweis [ edit ]]

Anstatt den Satz von Feit-Thompson direkt zu beschreiben, ist es einfacher, den CA-Satz von Suzuki zu beschreiben und einige der Erweiterungen zu kommentieren, die für den Satz von CN und den Satz der ungeraden Ordnung benötigt werden. Der Beweis kann in drei Schritte unterteilt werden. Wir lassen G eine nicht-abelsche (minimale) einfache Gruppe ungerader Ordnung sein, die die CA-Bedingung erfüllt. Für eine detailliertere Darstellung des Papiers der ungeraden Ordnung siehe Thompson (1963) oder (Gorenstein 1980) oder Glauberman (1999).

Schritt 1. Lokale Analyse der Struktur der Gruppe G [ edit ]

Dies ist im CA-Fall einfach, weil die Beziehung " a pendelt mit b "ist eine Äquivalenzbeziehung auf den Nichtidentitätselementen. Die Elemente teilen sich also in Äquivalenzklassen auf, so dass jede Äquivalenzklasse die Menge der Nichtidentitätselemente einer maximal abelschen Untergruppe ist. Die Normalisierer dieser maximal abelschen Untergruppen erweisen sich als genau die maximalen richtigen Untergruppen von G . Bei diesen Normalisierern handelt es sich um Frobenius-Gruppen, deren Charaktertheorie einigermaßen transparent ist und sich für Manipulationen mit Charakterinduktion eignet. Auch der Satz der Hauptteiler von | G | ist nach den Primzahlen aufgeteilt, die die Ordnungen der verschiedenen Konjugationsklassen der maximalen abelschen Untergruppen von | G | teilen. Dieses Muster der Unterteilung der Hauptteiler von | G | entsprechend den Konjugationsklassen bestimmter Hall-Untergruppen (eine Hall-Untergruppe ist eine, deren Reihenfolge und Index relativ hoch sind), die den maximalen Untergruppen von G (bis zur Konjugation) entsprechen, wird in beiden Nachweisen der Feit wiederholt –Hall-Thompson-CN-Theorem und im Beweis des Feit-Thompson-Theorems ungerader Ordnung. Jede maximale Untergruppe M hat eine bestimmte nilpotente Hall-Untergruppe M _σ mit Normalisierer, enthalten in M deren Reihenfolge durch bestimmte Primzahlen teilbar ist, die eine Menge σ bilden ( M ). Zwei maximale Untergruppen sind genau dann konjugiert, wenn die Mengen σ ( M ) gleich sind, und wenn sie nicht konjugiert sind, sind die Mengen σ ( M ) unzusammenhängend. Jede Primzahl, die die Ordnung von G teilt, kommt in einem Satz σ ( M ) vor. Daher werden die Primzahlen, die die Reihenfolge von G teilen, in Äquivalenzklassen unterteilt, die den Konjugationsklassen maximaler Untergruppen entsprechen. Der Beweis für den CN-Fall ist bereits erheblich schwieriger als der CA-Fall: Das Hauptproblem ist, dass zwei unterschiedliche Sylow-Untergruppen sich in der Identität überschneiden. Dieser Teil des Beweises des Satzes ungerader Ordnung benötigt über 100 Journalseiten. Ein Schlüsselschritt ist der Beweis des Thompson-Eindeutigkeitssatzes, der besagt, dass mindestens drei abelsche Untergruppen in einer einzigen maximalen Untergruppe enthalten sind. Dies bedeutet, dass die Primzahlen p für die Sylow p -Untergruppen haben einen normalen Rang von höchstens 2 müssen separat betrachtet werden. Bender vereinfachte später den Beweis des Eindeutigkeitssatzes unter Verwendung der Methode von Bender. Während im CN-Fall die resultierenden maximalen Untergruppen M noch Frobenius-Gruppen sind, brauchen die maximalen Untergruppen, die im Beweis des Satzes ungeradzahliger Ordnung vorkommen, diese Struktur und die Analyse ihrer Struktur nicht mehr zu haben und das Zusammenspiel ergibt 5 mögliche Typen maximaler Untergruppen, die als Typen I, II, III, IV, V bezeichnet werden. Typ-I-Untergruppen sind vom "Frobenius-Typ", einer leichten Verallgemeinerung der Frobenius-Gruppe und werden später im Beweis gezeigt Frobenius-Gruppen sein. Sie haben die Struktur M _F [1945 U U, wobei M _F die größte normale Nilpotent-Hall-Untergruppe ist U hat eine Untergruppe U ₀ mit dem gleichen Exponenten, so dass M _F ⋊ U ₀ ist eine Frobenius-Gruppe mit Kernel M _F . Die Typen II, III, IV, V sind alle dreistufige Gruppe mit Struktur M _F [1945 U ⋊ W ₁ , wobei M _F [1945 U die abgeleitete Untergruppe von M ist. Die Unterteilung in die Typen II, III, IV und V hängt von der Struktur und Einbettung der Untergruppe U wie folgt ab:

• Typ II: U ist nicht-triviales Abelian und sein Normalisierer ist nicht in M enthalten.
• Typ III: U ist nicht-triviales Abelian und sein Normalisierer ist in M enthalten.
• Typ IV: U ist Nonabelianer.
• Typ V: U ist trivial.

Alle außer zwei Klassen von maximalen Untergruppen sind vom Typ I, es kann jedoch auch zwei zusätzliche Klassen von maximalen Untergruppen geben, eine vom Typ II und eine vom Typ II, III, IV oder V.

Schritt 2. Charaktertheorie von G [ edit ]

Wenn X ein nicht reduzierbarer Charakter des Normalisierers H des Maximums ist abelsche Untergruppe A der CA-Gruppe G ohne A in ihrem Kern zu enthalten, wir können X zu einer Figur Y von G induzieren , was nicht notwendigerweise irreduzibel ist. Aufgrund der bekannten Struktur von G ist es leicht, die Zeichenwerte von Y auf allen außer dem Identitätselement von G zu finden. Dies impliziert, dass wenn X ₁ und X ₂ zwei solcher nicht reduzierbaren Zeichen von H und Y ₁ und Y _{2 sind.} sind die entsprechenden induzierten Zeichen, dann ist Y ₁ - Y ₂ vollständig festgelegt, und die Berechnung ihrer Norm zeigt, dass es sich um den Unterschied von zwei irreduziblen Zeichen handelt G (diese werden manchmal als außergewöhnliche Zeichen von G in Bezug auf H bezeichnet). Ein Zählargument zeigt, dass jeder nicht-triviale irreduzible Charakter von G genau einmal als außergewöhnlicher Charakter auftritt, der mit dem Normalisierer einer maximal abelschen Untergruppe von G zusammenhängt. Ein ähnliches Argument (das abelsche Hall-Untergruppen durch nilpotente Hall-Untergruppen ersetzt) ​​funktioniert im Beweis des CN-Theorems. Im Beweis des Satzes ungeradzahliger Ordnung sind die Argumente für das Konstruieren von Zeichen aus G aus Zeichen von Untergruppen jedoch viel filigraner und verwenden die Dade-Isometrie zwischen Zeichenringen anstelle der Zeicheninduktion, da das Maximum Untergruppen haben eine kompliziertere Struktur und sind weniger transparent eingebettet. Die Theorie der außergewöhnlichen Zeichen wird durch die Theorie einer zusammenhängenden Menge von Zeichen zur Erweiterung der Dade-Isometrie ersetzt. Grob gesagt: Diese Theorie besagt, dass die Dade-Isometrie erweitert werden kann, es sei denn, die beteiligten Gruppen haben eine bestimmte Struktur. Peterfalvi (2000) beschrieb in vereinfachter Form die Charaktertheorie von Dade, Sibley und Peterfalvi.

Schritt 3: Der letzte Widerspruch [ edit ]

Mit Schritt 2 haben wir eine vollständige und genaue Beschreibung der Zeichentabelle der CA-Gruppe. G . Daraus und unter Verwendung der Tatsache, dass G ungerade Reihenfolge hat, sind ausreichende Informationen verfügbar, um Schätzungen für | G | zu erhalten und kommen zu einem Widerspruch zu der Annahme, dass G einfach ist. Dieser Teil des Arguments funktioniert im Fall der CN-Gruppe ähnlich.

Im Beweis des Feit-Thompson-Theorems ist dieser Schritt jedoch (wie üblich) erheblich komplizierter. Die Charaktertheorie beseitigt nur einige der möglichen Konfigurationen, die nach Schritt 1 übrig sind. Zuerst zeigen sie, dass die maximalen Untergruppen von Typ I alle Frobenius-Gruppen sind. Wenn alle maximalen Untergruppen vom Typ I sind, zeigt ein dem CN-Fall ähnliches Argument, dass die Gruppe G keine ungeradzahlige minimale einfache Gruppe sein kann, daher gibt es genau zwei Klassen von maximalen Untergruppen der Typen II, III , IV oder V. Die meisten anderen Beweise konzentrieren sich jetzt auf diese beiden Arten der maximalen Untergruppe S und T und die Beziehung zwischen ihnen. Weitere charaktertheoretische Argumente zeigen, dass sie nicht vom Typ IV oder V sein können. Die beiden Untergruppen haben eine genaue Struktur: Die Untergruppe S ist von Ordnung p ^q × ] q × ( p ^q –1) / ( p –1) und besteht aus allen Automorphismen des zugrunde liegenden Satzes des endlichen Ordnungsfeldes p ^q der Form x → ax ^σ + b wobei a die Norm 1 hat und σ ist ein Automorphismus des endlichen Feldes, wobei p und q verschiedene Primzahlen sind. Die maximale Untergruppe T hat eine ähnliche Struktur wie p und q umgekehrt. Die Untergruppen S und T sind eng verbunden. Unter Verwendung von p > q kann man zeigen, dass die zyklische Untergruppe von S der Ordnung ( p ^q –1) / ( p -1) ist konjugiert mit einer Untergruppe der zyklischen Untergruppe von T der Ordnung ( q ^p –1) / ( q -1). (Insbesondere teilt die erste Zahl die zweite, wenn also die Feit-Thompson-Vermutung zutrifft, würde sie behaupten, dass dies nicht möglich ist, und dies könnte verwendet werden, um den Beweis an dieser Stelle zu beenden. Die Vermutung ist jedoch noch nicht bewiesen. )

Die Schlussfolgerung aus der Anwendung der Charaktertheorie auf die Gruppe G lautet, dass G die folgende Struktur hat: Es gibt Primzahlen p > q ] so, dass ( p ^q -1) / ( p -1) Coprime für p -1 und G hat eine Untergruppe, die durch das Semidirektprodukt PU angegeben wird, wobei P die additive Gruppe eines endlichen Ordnungsfeldes ist p ^q und U seine Elemente der Norm 1. Außerdem G hat eine abelsche Untergruppe Q der Ordnung prime bis p die ein Element enthält, y P ₀ normalisiert Q und ( P ₀ ) ^y normalisiert U wobei P ₀ ist die additive Gruppe des endlichen Feldes von o Rder p . (Für p = 2 tritt eine ähnliche Konfiguration in der Gruppe SL ₂ (2 ^q ) auf, mit PU einer Borel-Untergruppe der oberen Gruppe dreieckige Matrizen und Q die Untergruppe der Ordnung 3, erzeugt durch .) Um diesen letzten Fall zu beseitigen, verwendete Thompson einige furchtbar komplizierte Manipulationen mit Generatoren und Beziehungen, die später von Peterfalvi (1984) vereinfacht wurden. dessen Argument wird in (Bender & Glauberman 1994) wiedergegeben. Der Beweis untersucht die Menge der Elemente a im endlichen Ordnungsbereich p ^q so dass a und 2 – a beide die Norm 1 haben Zuerst wird geprüft, ob dieses Set mindestens ein anderes Element als 1 hat. Dann zeigt ein ziemlich schwieriges Argument, Generatoren und Beziehungen in der Gruppe G zu verwenden, dass das Set unter Umkehrung geschlossen ist. Wenn a sich in der Menge befindet und nicht gleich 1 ist, dann hat das Polynom N ((1– a ) x +1) –1 Grad (19459021). q und hat mindestens p verschiedene Wurzeln, die von den Elementen x im F _p angegeben wurden, unter Verwendung der Tatsache, dass x → 1 / (2– x ) bildet das Set für sich selbst ab, so ≤ q was der Annahme p widerspricht q .

Verwendung von Seltsamkeit [ edit ]

Die Tatsache, dass die Reihenfolge der Gruppe G ungerade ist, wird an mehreren Stellen im Beweis wie folgt verwendet ( Thompson 1963).

• Der Hall-Higman-Satz ist für Gruppen ungerader Ordnung schärfer.
• Für Gruppen ungerader Ordnung treten alle Nicht-Hauptcharaktere in komplexen konjugierten Paaren auf.
• Einige Ergebnisse zu p - Gruppen gelten nur für ungerade Primzahlen p .
• Wenn eine Gruppe ungerader Ordnung keine elementaren abelschen Untergruppen von Rang 3 hat, dann ist ihre abgeleitete Gruppe nilpotent. (Dies scheitert für die symmetrische Gruppe S ₄ der geraden Ordnung.)
• Mehrere Argumente der Charaktertheorie scheitern für kleine Primzahlen, insbesondere für die Primzahl 2.

Referenzen edit ]

• Bender, Helmut; Glauberman, George (1994), Lokale Analyse für das Theorem der ungeraden Ordnung Londoner Reihe für Mathematik-Vorlesungsreihe, 188 Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-45716-3 , MR 1311244
• Brauer, R. (1957), "Über die Struktur von Gruppen endlicher Ordnung", Verfahren des Internationalen Mathematiker-Kongresses, Amsterdam, 1954, Vol. Erven P. Noordhoff NV, Groningen, S. 209–217, MR 0095203
• Burnside, William (1911), Theory von Gruppen von endliche Reihenfolge New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-49575-0, MR 0069818
• Feit, Walter; Thompson, John G .; Hall, Marshall, Jr. (1960), "endliche Gruppen, in denen der Zentralisierer eines Nichtidentitätselements nilpotent ist", Math. Z. 74 : 1–17, Doi: 10.1007 / BF01180468, MR 0114856
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• Feit, Walter; Thompson, John G. (1963), "Lösbarkeit von Gruppen ungerader Ordnung", Pacific Journal of Mathematics 13 : 775–1029, ISSN 0030-8730, MR 0166261
• Glauberman, George (1999), "Ein neuer Blick auf den Feit-Thompson-Satz von Theorien ungeradzahliger Ordnung", Matemática Contemporânea 16 : 73–92, ISSN 0103-9059, MR 1756828
• Gorenstein, D. (1980), Finite Groups (2. Aufl.), New York: Chelsea Publishing Co., ISBN 978-0-8284-0301-6, MR 0569209
• Peterfalvi, Thomas (1984), "Vereinfachung des Kapitels VI de l '" Artikel von Feit et Thompson über die Gruppe der behinderten Menschen ", Comptes Rendus de l'Académie der Wissenschaften, Série I 299 (12): 531–534, ISSN 0249- 6291, MR 0770439
• Peterfalvi, Thomas (2000) Zeichentheorie für das Theorem der ungeraden Ordnung London Mathematical Society Vorlesungsreihe, 272 Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-64660-4, MR 1747393
• Suzuki, Michio (1957), "Die Nichtexistenz einer bestimmten Art einfacher Gruppen ungerader Ordnung", Verfahren der American Mathematical Society Verfahren von die American Mathematical Society, Vol. 4, 8 (4): 686–695, doi: 10.2307 / 2033280, JSTOR 2033280, MR 0086818
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